Dados H, K subgrupos de um grupo G. Mostre que H \cap K é subgrupo de G e que H \cup K é subgrupo de G se, e somente se, H \subset K ou K \subset H.

Passo 1

O enunciado dá que H e K são subgrupos de um grupo G. Pede duas coisas:
  • Mostrar que H\cap K é subgrupo de G.
  • Mostrar que H\cup K é subgrupo de G se, e somente se, H\subseteq K ou K\subseteq H.
Informações relevantes que temos:
  • H é subgrupo de G: isto significa que H contém o elemento identidade de G, é fechado em produto e contém inversos de seus elementos.
  • K é subgrupo de G: mesma observação.
  • As operações e todos os elementos citados são os da estrutura de grupo G.

Passo 2

Lembrete didático sobre o que é ser subgrupo (ferramenta que vou usar).
Uma parte S de um grupo G é subgrupo de G se satisfaz uma (qualquer) das formas equivalentes abaixo:
  • Definição direta: S é não vazia, e para todo x,y\in S tem-se xy\in S e x^{-1}\in S.
  • Critério prático (muito útil): S é não vazia e para todo x,y\in S vale x y^{-1}\in S.
    Explicação do critério prático: se xy^{-1}\in S para todo x,y\in S, então tomando y=x obtemos e=xx^{-1}\in S (logo S não é vazio) e tomando x=e vê-se y^{-1}\in S. A partir daí obtém-se fechamento sob produto usando inversos. As variáveis aqui são elementos genéricos x,y de S.
Vou usar esse critério porque simplifica verificações em interseções e uniões.

Passo 3

Prova de que H\cap K é subgrupo de G.
  1. Primeiro, H\cap K não é vazio: como H e K são subgrupos, ambos contêm o elemento identidade e de G. Logo e\in H e e\in K, portanto e\in H\cap K.
  2. Agora aplico o critério prático: pegue x,y\in H\cap K. Isso significa que x\in H e x\in K, e y\in H e y\in K. Como H é subgrupo, x y^{-1}\in H. Como K é subgrupo, x y^{-1}\in K. Portanto x y^{-1}\in H\cap K.
  3. Assim H\cap K satisfaz o critério (é não vazia e fechado por x y^{-1}), logo H\cap K é subgrupo de G.
Comentário informal: pense que a interseção pega só os elementos que estão em ambos os subgrupos; identidade e propriedades de fechamento/inverso passam para o “filtro” da interseção, então a interseção herda a estrutura de subgrupo.

Passo 4

Propriedade necessária para a união: se H\subseteq K então H\cup K = K e obviamente é subgrupo; idem trocando H e K. Vou provar agora a implicação não-trivial: se H\cup K é subgrupo então um dos dois está contido no outro.
Suponha que H\cup K é subgrupo de G. Vou provar por contradição que então H\subseteq K ou K\subseteq H.
  • Suponha, para chegar a contradição, que nem H\subseteq K nem K\subseteq H. Então existem
    \,h\in H\setminus K e k\in K\setminus H.
  • Como H\cup K é subgrupo, ele é fechado sob produtos e inversos. Em particular k^{-1}\in K\subseteq H\cup K. Logo h k^{-1}\in H\cup K.
  • Dois casos possíveis:
    Caso A: h k^{-1}\in H. Então multiplico à esquerda por h^{-1}\in H (pois h\in H e H é subgrupo): h^{-1}(h k^{-1})=k^{-1}\in H. Então k=(k^{-1})^{-1}\in H, o que contradiz k\notin H.
    Caso B: h k^{-1}\in K. Então multiplico à direita por k\in K (pois K é subgrupo): (h k^{-1})k=h\in K. Isso contradiz h\notin K.
  • Em ambos os subcasos obtemos contradição. Portanto a hipótese de que existem h\in H\setminus K e k\in K\setminus H é falsa.
Conclusão desta etapa: se H\cup K é subgrupo então não é possível que ambos tenham elementos fora um do outro; logo ou H\subseteq K ou K\subseteq H.

Passo 5

Propriedade suficiente para a união: se H\subseteq K então H\cup K = K e como K é subgrupo, H\cup K é subgrupo. O mesmo raciocínio vale se K\subseteq H.
Portanto a condição H\cup K ser subgrupo é equivalente a H\subseteq K ou K\subseteq H.

Passo 6

Resumo e observação intuitiva: a interseção sempre funciona porque as propriedades de grupo são preservadas quando imponho a condição “estar em ambos”. A união só funciona quando uma das partes já está completamente dentro da outra — caso contrário a união perde fechamento (pega um elemento de H e outro de K e o produto pode sair da união).

Resposta

H\cap K é subgrupo de G.
H\cup K é subgrupo de G se, e somente se, H\subseteq K ou K\subseteq H.

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