Dados
subgrupos de um grupo
. Mostre que
é subgrupo de
e que
é subgrupo de
se, e somente se,
ou
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são subgrupos de um grupo
. Pede duas coisas:
- Mostrar que
é subgrupo de . - Mostrar que
é subgrupo de se, e somente se, ou .
Informações relevantes que temos:
-
é subgrupo de : isto significa que contém o elemento identidade de , é fechado em produto e contém inversos de seus elementos. -
é subgrupo de : mesma observação. - As operações e todos os elementos citados são os da estrutura de grupo
.
Passo 2
Lembrete didático sobre o que é ser subgrupo (ferramenta que vou usar).
Uma parte de um grupo
é subgrupo de
se satisfaz uma (qualquer) das formas equivalentes abaixo:
Uma parte
- Definição direta:
é não vazia, e para todo tem-se e . - Critério prático (muito útil):
é não vazia e para todo vale .
Explicação do critério prático: separa todo , então tomando obtemos (logo não é vazio) e tomando vê-se . A partir daí obtém-se fechamento sob produto usando inversos. As variáveis aqui são elementos genéricos de .
Vou usar esse critério porque simplifica verificações em interseções e uniões.
Passo 3
Prova de que
é subgrupo de
.
-
Primeiro,
não é vazio: como e são subgrupos, ambos contêm o elemento identidade de . Logo e , portanto . -
Agora aplico o critério prático: pegue
. Isso significa que e , e e . Como é subgrupo, . Como é subgrupo, . Portanto . -
Assim
satisfaz o critério (é não vazia e fechado por ), logo é subgrupo de .
Comentário informal: pense que a interseção pega só os elementos que estão em ambos os subgrupos; identidade e propriedades de fechamento/inverso passam para o “filtro” da interseção, então a interseção herda a estrutura de subgrupo.
Passo 4
Propriedade necessária para a união: se
então
e obviamente é subgrupo; idem trocando
e
. Vou provar agora a implicação não-trivial: se
é subgrupo então um dos dois está contido no outro.
Suponha que
é subgrupo de
. Vou provar por contradição que então
ou
.
- Suponha, para chegar a contradição, que nem
nem . Então existem
e . - Como
é subgrupo, ele é fechado sob produtos e inversos. Em particular . Logo . - Dois casos possíveis:
Caso A:. Então multiplico à esquerda por (pois e é subgrupo): . Então , o que contradiz .
Caso B:. Então multiplico à direita por (pois é subgrupo): . Isso contradiz . - Em ambos os subcasos obtemos contradição. Portanto a hipótese de que existem
e é falsa.
Conclusão desta etapa: se
é subgrupo então não é possível que ambos tenham elementos fora um do outro; logo ou
ou
.
Passo 5
Propriedade suficiente para a união: se
então
e como
é subgrupo,
é subgrupo. O mesmo raciocínio vale se
.
Portanto a condição
ser subgrupo é equivalente a
ou
.
Passo 6
Resumo e observação intuitiva: a interseção sempre funciona porque as propriedades de grupo são preservadas quando imponho a condição “estar em ambos”. A união só funciona quando uma das partes já está completamente dentro da outra — caso contrário a união perde fechamento (pega um elemento de
e outro de
e o produto pode sair da união).