Seja
g(x)=\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{t^{3}+3} d t.
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TF1), determine g^{\prime}(x) e, em seguida, calcule g^{\prime}(1).
0 \leqslant \pi \quad \infty \quad *

Passo 1

O enunciado define
g(x)=\int_{1}^{x^{2}}\sqrt{t^{3}+3}\,dt
e pede a derivada g'(x) usando o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1) combinado com a regra da cadeia, e em seguida o valor de g'(1).

Passo 2

Para aplicar o TF1 com limite superior dependente de x, lembramos que se
G(x)=\int_{a}^{h(x)}f(t)\,dt,
então
G'(x)=f\bigl(h(x)\bigr)\,h'(x).
Aqui temos f(t)=\sqrt{t^{3}+3} e h(x)=x^{2}. Logo,
g'(x)=\sqrt{\bigl(x^{2}\bigr)^{3}+3}\,\frac{d}{dx}(x^{2}) =\sqrt{x^{6}+3}\cdot 2x.

Passo 3

Agora basta avaliar em x=1:
g'(1)=2\cdot1\cdot\sqrt{1^{6}+3} =2\sqrt{4} =2\cdot2 =4.

Resposta

g'(x)=2x\sqrt{x^{6}+3} e g'(1)=4.

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