Seja
.
Sem calcular a fórmula de quadratura, encontrar teoricamente estimativa para o erro da fórmula composta
, para cálculo aproximado de
;
Sem calcular a fórmula de quadratura, encontrar teoricamente estimativa para o erro da fórmula composta
Passo 1
Temos a integral alvo I(h)=∫₀¹ h(x) dx com h(x)=x/(1+x²). O conteúdo é a regra trapezoidal composta com n=3 painéis, para a qual precisamos da fórmula de erro que envolve a segunda derivada de h.
Passo 2
A fórmula de erro da regra trapezoidal composta em [a,b] com passo h=(b−a)/n é
$$
|E_T|=\bigl|I(h)-Q_{T,n}(h)\bigr|\le\frac{b-a}{12}h^{2}\max_{x\in[a,b]}|h’’(x)|$$
Aqui a=0, b=1, n=3, logo h=(1−0)/3=1/3.
Aqui a=0, b=1, n=3, logo h=(1−0)/3=1/3.
Passo 3
Substituindo na fórmula de erro obtemos
$$
|E_T|\le\frac{1}{12}\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{2}\max_{x\in[0,1]}|h’’(x)|=\frac{1}{108}\max_{x\in[0,1]}|h’’(x)|$$.
Passo 4
Calculamos h’(x) e h’’(x). Como h(x)=x(1+x²)^{-1}, temos
logo
Passo 5
Para encontrar o máximo de |h’’(x)| em [0,1] derivamos g(x)=2x(3-x²)/(1+x²)³ e achamos que o ponto crítico é x=√(3-2√2)≈0.4142, onde
Passo 6
Substituindo no bound final:
Resposta
|I(h)-Q_{T,3}(h)|\le\frac{1}{108}\max_{x\in[0,1]}|h’’(x)|\approx0.0135