Seja h(x)=x /(1+x^2).
Sem calcular a fórmula de quadratura, encontrar teoricamente estimativa para o erro da fórmula composta QT, 3(h), para cálculo aproximado de I(h);

Passo 1

Temos a integral alvo I(h)=∫₀¹ h(x) dx com h(x)=x/(1+x²). O conteúdo é a regra trapezoidal composta com n=3 painéis, para a qual precisamos da fórmula de erro que envolve a segunda derivada de h.

Passo 2

A fórmula de erro da regra trapezoidal composta em [a,b] com passo h=(b−a)/n é
$$
|E_T|=\bigl|I(h)-Q_{T,n}(h)\bigr|\le\frac{b-a}{12}h^{2}\max_{x\in[a,b]}|h’’(x)|$$
Aqui a=0, b=1, n=3, logo h=(1−0)/3=1/3.

Passo 3

Substituindo na fórmula de erro obtemos
$$
|E_T|\le\frac{1}{12}\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{2}\max_{x\in[0,1]}|h’’(x)|=\frac{1}{108}\max_{x\in[0,1]}|h’’(x)|$$.

Passo 4

Calculamos h’(x) e h’’(x). Como h(x)=x(1+x²)^{-1}, temos
h'(x)=1-x^2(1+x^2)^2,
h''(x)=2x(x^2-3)(1+x^2)^3,
logo
|h''(x)|=2x(3-x^2)(1+x^2)^3

Passo 5

Para encontrar o máximo de |h’’(x)| em [0,1] derivamos g(x)=2x(3-x²)/(1+x²)³ e achamos que o ponto crítico é x=√(3-2√2)≈0.4142, onde
max[0,1]|h''(x)|=2x(3-x^2)(1+x^2)^3gr|x=raiz3-2raiz2approx1.458

Passo 6

Substituindo no bound final:
|ET|<=1108cdot1.458approx0.0135

Resposta

|I(h)-Q_{T,3}(h)|\le\frac{1}{108}\max_{x\in[0,1]}|h’’(x)|\approx0.0135

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