Seja f: (0, infinito) -> R dada por:
f(x) = x^3 ln(x) - x^3 / 3
Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, temos a função . A questão pede para encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão dessa função. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função e aonde ela muda de concava para convexa (ou vice-versa), que são os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada nos dá a taxa de variação da função.
Usando a regra do produto para , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos ajudará a determinar a concavidade da função.
Aplicando novamente a regra do produto:

Passo 4

Para encontrar os intervalos de concavidade, precisamos analisar o sinal da segunda derivada .
Como , o termo é sempre positivo. Então, o sinal de depende de .
Vamos resolver :

Passo 5

Agora, vamos dividir a linha dos números em dois intervalos com base no valor :
Vamos verificar o sinal de em cada intervalo:
  1. Para :
    é negativo porque .
    Então, .
    Logo, . A função é côncava para baixo neste intervalo.
  2. Para :
    é maior que .
    Então, .
    Logo, . A função é côncava para cima neste intervalo.

Passo 6

O ponto onde a concavidade muda é o ponto de inflexão. Encontramos que isso ocorre quando .
Para achar a coordenada y desse ponto, substituímos na função original:
Calculando:

Resposta

A função é côncava para baixo no intervalo e côncava para cima no intervalo . Além disso, há um ponto de inflexão em .

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