Seja
dada por:
Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, temos a função
. A questão pede para encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão dessa função. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função e aonde ela muda de concava para convexa (ou vice-versa), que são os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada nos dá a taxa de variação da função.
Usando a regra do produto para
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos ajudará a determinar a concavidade da função.
Aplicando novamente a regra do produto:
Passo 4
Para encontrar os intervalos de concavidade, precisamos analisar o sinal da segunda derivada
.
Como
, o termo
é sempre positivo. Então, o sinal de
depende de
.
Vamos resolver
:
Passo 5
Agora, vamos dividir a linha dos números em dois intervalos com base no valor
:
Vamos verificar o sinal de
em cada intervalo:
-
Para
: é negativo porque . Então,. Logo,. A função é côncava para baixo neste intervalo. -
Para
: é maior que . Então,. Logo,. A função é côncava para cima neste intervalo.
Passo 6
O ponto onde a concavidade muda é o ponto de inflexão. Encontramos que isso ocorre quando
.
Para achar a coordenada y desse ponto, substituímos
na função original:
Calculando:
Resposta
A função
é côncava para baixo no intervalo
e côncava para cima no intervalo
. Além disso, há um ponto de inflexão em
.