Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(o) A série sumn=1^infty 2^2 n 9^1-n é convergente e sua soma é igual a 365.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a afirmação que diz que a série é convergente e que a sua soma é igual a . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas e verificar se a série converge mesmo. Se convergir, vamos calcular a soma dela.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Temos:
2^2n times 9^1-n
Vamos reescrever cada parte:
2^2n = (2^2)^n = 4^n
9^1-n = 9 times 9^-n = 99^n
Então, a expressão fica:
4^n times 99^n = 9 times (49)^n

Passo 3

Agora, observamos que a série é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.
Numa série geométrica da forma :
  • é o primeiro termo.
  • é a razão comum entre os termos.
No nosso caso:

Passo 4

Para uma série geométrica |49| = 49 < 1 convergir, é necessário que o módulo da razão seja menor que 1, ou seja, .
No nosso caso:
Então, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a sua soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = 41 - 49 = 459 = 4 times 95 = 365

Resposta

A afirmação é verdadeira. A série é convergente e sua soma é igual a .

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