Seja
o conjunto de Cantor. Sabemos que todo ponto
é ponto de acumulação. Se
é extremo de algum dos intervalos omitidos numa das etapas da construção de
então vale apenas uma das alternativas
ou
. Se entretanto
não é extremo de intervalo omitido então
como se conclui do argumento usado no Capítulo 5, seção 5.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (em frases curtas, com definições explícitas).
- O conjunto
é o conjunto de Cantor construído pelo processo usual (removendo-se terços médios recursivamente). - Diz-se que todo ponto
é ponto de acumulação (isto significa que em qualquer vizinhança de existem pontos de diferentes de ). - Definimos os conjuntos de acumulação unilaterais (uma forma conveniente):
- O enunciado afirma duas coisas que vamos justificar:
- Se
é extremo de algum dos intervalos omitidos em alguma etapa (isto é, é extremidade de algum intervalo aberto removido), então exatamente uma das alternativas ocorre: ou (mas não as duas). - Se
não é extremo de intervalo omitido (ou seja, nunca aparece como extremidade de um intervalo removido em nenhuma etapa), então .
- Se
Agora vamos provar rigorosamente essas duas afirmações, passo a passo.
Passo 2
Lembrete técnico e ferramenta básica: descrição por etapas da construção e intervalos
.
- Na construção padrão, para cada
definimos como a união dos intervalos fechados (cada um de comprimento ) que restam após etapas; temos - Para cada
e para cada ponto existe um único intervalo fechado tal que e (comprimento de ). Além disso, os formam uma cadeia aninhada: - Essa descrição é a ferramenta que vamos usar para produzir pontos de
próximos a , tanto à esquerda quanto à direita, dependendo do tipo de .
Passo 3
Provar primeiro que todo
é ponto de acumulação (esclarecendo a ideia).
- Seja
e seja qualquer. Escolha tal que . Considere o intervalo de comprimento que contém . - O intervalo
contém pelo menos dois pontos distintos (não é singleton), porque é um intervalo fechado de comprimento positivo. Além disso, contém pontos além de (caso seja interior de isto é óbvio; se for extremidade de , veremos no passo seguinte que existem pontos de arbitrariamente próximos pelo outro lado). Assim existe , , com . - Como
era arbitrário, concluímos que é ponto de acumulação de . (Isso coincide com a propriedade clássica de que o conjunto de Cantor é perfeito: fechado e sem pontos isolados.)
Passo 4
Caso 1 —
é extremo de algum intervalo omitido: mostraremos que só existe acumulação por um lado.
- Suponha que em alguma etapa
foi removvido o intervalo aberto (o caso simétrico é análogo), de modo que é a extremidade esquerda de e . Então tem comprimento positivo, digamos . - Então existe
(por exemplo ) tal que Logo não há pontos de estritamente maiores que e dentro de . Isso mostra que não existe sequência em convergindo para com termos . Portanto (no exemplo) — não há acumulação pela direita. - Agora provamos que há acumulação pela esquerda: para cada
olhe a etapa . Na construção, imediatamente à esquerda de aparecem intervalos de cujos pontos mais à direita ficam cada vez mais próximos de . Concretamente, existem pontos tais que e (Isto acontece porque as raízes direita dos intervalos de que ficam à esquerda de têm distância no máximo de .) Assim com para todo . Então existe sequência em aproximando por valores menores, logo . - Conclusão do caso: se
é extremidade de um intervalo removido então exatamente uma das inclusões ou vale (dependendo de que lado foi removido). Ou seja, o ponto tem acumulação unilateral apenas do lado que não ficou imediatamente coberto pelo intervalo removido.
Passo 5
Caso 2 —
não é extremo de nenhum intervalo omitido: mostraremos acumulação dos dois lados.
- Se
não é extremidade de nenhum intervalo removido, então em cada etapa o intervalo que contém tem no seu interior (não na extremidade). Ou seja, para cada existem pontos de estritamente à esquerda e estritamente à direita de . - Tomando
grande, fica arbitrariamente pequeno; dentro de escolhemos um ponto à esquerda de e um ponto à direita de . Assim obtemos duas sequências e em com e , . - Portanto
e , ou seja . Isso prova a segunda afirmação.
Passo 6
Resumo final e interpretação intuitiva (rápida e encorajadora).
- Intuitivamente: um extremo de intervalo removido fica “lado a lado” com um buraco do conjunto, por isso não tem pontos de
daquele lado próximos; do outro lado existe sempre uma cadeia de intervalos menores que se aproximam dele. Se o ponto nunca foi extremidade (é um ponto “interior” dos pequenos pedacinhos que permanecem em todas as etapas), então em todas as escalas ele tem vizinhança em de ambos os lados, e portanto acumulam pontos vindos tanto da esquerda quanto da direita. - Pronto — é exatamente o mesmo argumento padrão do Capítulo 5, seção 5: usar os intervalos
e o fato de que a construção fornece vizinhanças em escalas cada vez menores que contêm pontos de do lado desejado.
Resposta
Se
é extremo de algum intervalo omitido então exactamente uma das inclusões
ou
vale (dependendo do lado do intervalo removido).\nSe
não é extremo de intervalo omitido então
.