Seja K o conjunto de Cantor. Sabemos que todo ponto a \in K é ponto de acumulação. Se a é extremo de algum dos intervalos omitidos numa das etapas da construção de K então vale apenas uma das alternativas a \in K_{+}^{\prime} ou a \in K_{-}^{\prime}. Se entretanto a \in K não é extremo de intervalo omitido então a \in K_{+}^{\prime} \cap K_{-}^{\prime} como se conclui do argumento usado no Capítulo 5, seção 5.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (em frases curtas, com definições explícitas).
  • O conjunto K é o conjunto de Cantor construído pelo processo usual (removendo-se terços médios recursivamente).
  • Diz-se que todo ponto a\in K é ponto de acumulação (isto significa que em qualquer vizinhança de a existem pontos de K diferentes de a).
  • Definimos os conjuntos de acumulação unilaterais (uma forma conveniente): K_{+}^{\prime}=\{x\in K:\text{ existe sequência }x_n\in K,\\ x_n>x,\\ x_n\to x\},ê
K_{-}^{\prime}=\{x\in K:\text{ existe sequência }x_n\in K,\\ x_n<x,\\ x_n\to x\}.ê
  • O enunciado afirma duas coisas que vamos justificar:
    1. Se a é extremo de algum dos intervalos omitidos em alguma etapa (isto é, é extremidade de algum intervalo aberto removido), então exatamente uma das alternativas ocorre: a\in K_{+}^{\prime} ou a\in K_{-}^{\prime} (mas não as duas).
    2. Se a\in K não é extremo de intervalo omitido (ou seja, nunca aparece como extremidade de um intervalo removido em nenhuma etapa), então a\in K_{+}^{\prime}\cap K_{-}^{\prime}.
Agora vamos provar rigorosamente essas duas afirmações, passo a passo.

Passo 2

Lembrete técnico e ferramenta básica: descrição por etapas da construção e intervalos K_n.
  • Na construção padrão, para cada n\ge0 definimos K_n como a união dos 2^n intervalos fechados (cada um de comprimento 3^{-n}) que restam após n etapas; temos K = \bigcap_{n=0}^{\infty} K_n.
  • Para cada n e para cada ponto a\in K existe um único intervalo fechado I_n\subset K_n tal que a\in I_n e \ell(I_n)=3^{-n} (comprimento de I_n). Além disso, os I_n formam uma cadeia aninhada: I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset\cdots,\qquad \bigcap_{n} I_n=\{a\}.
  • Essa descrição é a ferramenta que vamos usar para produzir pontos de K próximos a a, tanto à esquerda quanto à direita, dependendo do tipo de a.

Passo 3

Provar primeiro que todo a\in K é ponto de acumulação (esclarecendo a ideia).
  • Seja a\in K e seja \varepsilon>0 qualquer. Escolha n tal que 3^{-n}<\varepsilon. Considere o intervalo I_n de comprimento 3^{-n} que contém a.
  • O intervalo I_n contém pelo menos dois pontos distintos (não é singleton), porque é um intervalo fechado de comprimento positivo. Além disso, I_n\cap K contém pontos além de a (caso a seja interior de I_n isto é óbvio; se a for extremidade de I_n, veremos no passo seguinte que existem pontos de K arbitrariamente próximos pelo outro lado). Assim existe x\in K, x\ne a, com |x-a|<3^{-n}<\varepsilon.
  • Como \varepsilon era arbitrário, concluímos que a é ponto de acumulação de K. (Isso coincide com a propriedade clássica de que o conjunto de Cantor é perfeito: fechado e sem pontos isolados.)

Passo 4

Caso 1 — a é extremo de algum intervalo omitido: mostraremos que só existe acumulação por um lado.
  • Suponha que em alguma etapa m foi removvido o intervalo aberto U=(a,b) (o caso simétrico U=(c,a) é análogo), de modo que a é a extremidade esquerda de U e a\in K. Então U tem comprimento positivo, digamos \ell(U)=b-a>0.
  • Então existe \delta>0 (por exemplo \delta=\tfrac{b-a}{2}) tal que (a,a+\delta)\subset U\subset [0,1]\setminus K.Logo não há pontos de K estritamente maiores que a e dentro de (a,a+\delta). Isso mostra que não existe sequência em K convergindo para a com termos >a. Portanto a\notin K_{+}^{\prime} (no exemplo) — não há acumulação pela direita.
  • Agora provamos que há acumulação pela esquerda: para cada k\ge1 olhe a etapa m+k. Na construção, imediatamente à esquerda de a aparecem intervalos de K_{m+k} cujos pontos mais à direita ficam cada vez mais próximos de a. Concretamente, existem pontos a_k\in K tais que a_k<a e 0<a-a_k\le 3^{-(m+k)}.(Isto acontece porque as raízes direita dos intervalos de K_{m+k} que ficam à esquerda de a têm distância no máximo 3^{-(m+k)} de a.) Assim a_k\to a com a_k<a para todo k. Então existe sequência em K aproximando a por valores menores, logo a\in K_{-}^{\prime}.
  • Conclusão do caso: se a é extremidade de um intervalo removido então exatamente uma das inclusões a\in K_{+}^{\prime} ou a\in K_{-}^{\prime} vale (dependendo de que lado foi removido). Ou seja, o ponto tem acumulação unilateral apenas do lado que não ficou imediatamente coberto pelo intervalo removido.

Passo 5

Caso 2 — a não é extremo de nenhum intervalo omitido: mostraremos acumulação dos dois lados.
  • Se a\in K não é extremidade de nenhum intervalo removido, então em cada etapa n o intervalo I_n que contém a tem a no seu interior (não na extremidade). Ou seja, para cada n existem pontos de I_n\cap K estritamente à esquerda e estritamente à direita de a.
  • Tomando n grande, \ell(I_n)=3^{-n} fica arbitrariamente pequeno; dentro de I_n\cap K escolhemos um ponto x_n à esquerda de a e um ponto y_n à direita de a. Assim obtemos duas sequências (x_n) e (y_n) em K com x_n<a<y_n e x_n\to a, y_n\to a.
  • Portanto a\in K_{-}^{\prime} e a\in K_{+}^{\prime}, ou seja a\in K_{+}^{\prime}\cap K_{-}^{\prime}. Isso prova a segunda afirmação.

Passo 6

Resumo final e interpretação intuitiva (rápida e encorajadora).
  • Intuitivamente: um extremo de intervalo removido fica “lado a lado” com um buraco do conjunto, por isso não tem pontos de K daquele lado próximos; do outro lado existe sempre uma cadeia de intervalos menores que se aproximam dele. Se o ponto nunca foi extremidade (é um ponto “interior” dos pequenos pedacinhos que permanecem em todas as etapas), então em todas as escalas ele tem vizinhança em K de ambos os lados, e portanto acumulam pontos vindos tanto da esquerda quanto da direita.
  • Pronto — é exatamente o mesmo argumento padrão do Capítulo 5, seção 5: usar os intervalos K_n e o fato de que a construção fornece vizinhanças em escalas cada vez menores que contêm pontos de K do lado desejado.

Resposta

Se a é extremo de algum intervalo omitido então exactamente uma das inclusões a\in K_{+}^{\prime} ou a\in K_{-}^{\prime} vale (dependendo do lado do intervalo removido).\nSe a\in K não é extremo de intervalo omitido então a\in K_{+}^{\prime}\cap K_{-}^{\prime}.

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