Demonstração: Seja K=(L+M) / 2. Pondo \varepsilon=K-L=M-K temos \varepsilon>0 e K=L+\varepsilon=M-\varepsilon. Pela definição de limite, existem \delta_{1}>0 e \delta_{2}>0 tais que x \in X, 0<|x-a|<\delta_{1} \Rightarrow L-\varepsilon<f(x)<K e x \in X, 0<|x-a|<\delta_{2} \Rightarrow K<g(x)<M+\varepsilon. Portanto, pondo \delta=\min \left\{\delta_{1}, \delta_{2}\right\} vem: x \in X, 0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)<K<g(x), o que prova o teorema.
Observação. A hipótese L<M não pode ser substituida por L \leq M no Teorema 1.
Observação. Para o Teorema 1 e seus corolários, bem como para o Teorema 2 abaixo, valem versões análogas com > em lugar de < e viceversa. Tais versões serão usadas sem maiores comentários.
Se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L<M então existe \delta>0 tal que f(x)< M para todo x \in X com 0<|x-a|<\delta.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: \lim_{x\to a} f(x)=L e um número M com L<M.
  • Pede-se provar que existe \delta>0 tal que, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta, vale f(x)<M.

Passo 2

Relembrando a definição de limite (passo-passo didático):
A afirmação \lim_{x\to a} f(x)=L significa o seguinte: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que x\in X e 0<|x-a|<\delta, tem-se
|f(x)-L|<\varepsilon.
Essa desigualdade vale exatamente quando as duas desigualdades abaixo ocorrem simultaneamente:
-\varepsilon < f(x)-L < \varepsilon,
ou seja,
L-\varepsilon < f(x) < L+\varepsilon.
Isto é importante: escolher \varepsilon nos dá um intervalo aberto (L-\varepsilon,\;L+\varepsilon) onde f(x) fica sempre que x estiver suficientemente perto de a (mas x\neq a).

Passo 3

Escolha do \varepsilon: como L<M, a diferença M-L é um número positivo. Então escolhemos
\varepsilon = M-L>0.
Pela definição de limite aplicada a esse \varepsilon, existe \delta>0 tal que, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta,
|f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 4

Transformando a desigualdade em informação útil: a desigualdade |f(x)-L|<\varepsilon implica, como visto antes,
f(x) < L+\varepsilon.
Como escolhemos \varepsilon = M-L, temos
L+\varepsilon = L+(M-L)=M.
Portanto, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta obtemos
f(x) < M.
(Essa é a conclusão desejada.)

Passo 5

Comentário sobre por que a hipótese estrita L<M é necessária: se tivéssemos apenas L\le M a conclusão pode falhar quando L=M. Exemplo simples: defina f(x)=L para todo x\neq a. Então \lim_{x\to a} f(x)=L. Se L=M, temos f(x)=M para x\neq a, logo não existe \delta>0 que faça f(x)<M em vizinhança de a (porque f(x)=M lá). Por isso a hipótese L<M (estrita) é essencial.

Resposta

Existe \delta>0 tal que f(x)<M para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta.

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