Demonstração: Seja
. Pondo
temos
e
. Pela definição de limite, existem
e
tais que
e
. Portanto, pondo
vem:
, o que prova o teorema.
Observação. A hipótese
não pode ser substituida por
no Teorema 1.
Observação. Para o Teorema 1 e seus corolários, bem como para o Teorema 2 abaixo, valem versões análogas com
em lugar de
e viceversa. Tais versões serão usadas sem maiores comentários.
Se
então existe
tal que
para todo
com
.
Se
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
e um número com . - Pede-se provar que existe
tal que, para todo com , vale .
Passo 2
Relembrando a definição de limite (passo-passo didático):
A afirmação significa o seguinte: para todo
existe
tal que, sempre que
e
, tem-se
A afirmação
Essa desigualdade vale exatamente quando as duas desigualdades abaixo ocorrem simultaneamente:
ou seja,
Isto é importante: escolher
nos dá um intervalo aberto
onde
fica sempre que
estiver suficientemente perto de
(mas
).
Passo 3
Escolha do
: como
, a diferença
é um número positivo. Então escolhemos
Pela definição de limite aplicada a esse
, existe
tal que, para todo
com
,
Passo 4
Transformando a desigualdade em informação útil: a desigualdade
implica, como visto antes,
Como escolhemos
, temos
Portanto, para todo
com
obtemos
(Essa é a conclusão desejada.)
Passo 5
Comentário sobre por que a hipótese estrita
é necessária: se tivéssemos apenas
a conclusão pode falhar quando
. Exemplo simples: defina
para todo
. Então
. Se
, temos
para
, logo não existe
que faça
em vizinhança de
(porque
lá). Por isso a hipótese
(estrita) é essencial.
Resposta
Existe
tal que
para todo
com
.