Seja L o operador diferencial linear definido por
L|y|=a_{0} y^{(n)}+a_{1} y^{(n-1)}+\cdots+a_{n} y,onde a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} são constantes reais.
Encontre L\left[r^{\prime}\right].

Passo 1

O enunciado define um operador diferencial linear L por
L[y]=a_{0} y^{(n)}+a_{1} y^{(n-1)}+\cdots+a_{n} y,
onde a_{0},a_{1},\dots,a_{n} são constantes reais. O que a questão pede é calcular L\left[r'\right], ou seja, aplicar o operador L à função y=r' (a derivada de r) e escrever o resultado de forma explícita.
Informações relevantes dadas:
\,a_{0},\dots,a_{n} são constantes reais.
L age sobre uma função y combinando derivadas de ordens até n.
Queremos L\bigl[r'\bigr], isto é, substituir y=r' em L[y].

Passo 2

Primeiro, entenda a notação de derivadas usada:
  • y^{(k)} significa a k-ésima derivada de y em relação à variável (por exemplo, x). Ex.: y^{(1)}=y', y^{(2)}=y''.
  • Para r, r' é a primeira derivada, r''=r^{(2)} a segunda, e assim por diante.
Um ponto importante: a operação de tomar derivadas é iterativa. Se eu tomar a derivada de r' mais uma vez, obtenho r''. Se eu tomar a derivada de r' m vezes, obtenho a derivada de r de ordem m+1. Vou usar isso na conta.

Passo 3

Mostre a propriedade fundamental que vamos usar: para todo inteiro m\ge 0,
\bigl(r'\bigr)^{(m)}=r^{(m+1)}.
Explicação simples: para m=0 isso diz (r')^{(0)}=r', que é óbvio. Se (r')^{(m)}=r^{(m+1)} vale, então derivando ambos os lados uma vez obtemos (r')^{(m+1)}=r^{(m+2)}. Assim por indução a igualdade vale para todo m. Em palavras: derivar r' m vezes é o mesmo que derivar r m+1 vezes.

Passo 4

Agora aplicamos L à função y=r'. Pela definição de L,
L\bigl[r'\bigr]=a_{0}\bigl(r'\bigr)^{(n)}+a_{1}\bigl(r'\bigr)^{(n-1)}+\cdots+a_{n}\bigl(r'\bigr).
Usando a propriedade do passo anterior, substituímos cada termo \bigl(r'\bigr)^{(m)} por r^{(m+1)}. Isso dá
L\bigl[r'\bigr]=a_{0}r^{(n+1)}+a_{1}r^{(n)}+\cdots+a_{n}r'.

Passo 5

Escrevendo de forma indexada, uma forma compacta é
L\bigl[r'\bigr]=\sum_{k=0}^{n} a_{k}\,r^{(n-k+1)}.
Essa soma corresponde exatamente aos termos do passo anterior: para k=0 temos a_{0}r^{(n+1)}, para k=1 temos a_{1}r^{(n)}, e para k=n temos a_{n}r^{(1)}=a_{n}r'.

Passo 6

Para fixar a ideia, um exemplo concreto: se n=2 e
L[y]=a_{0}y''+a_{1}y'+a_{2}y,
então
L\bigl[r'\bigr]=a_{0}r'''+a_{1}r''+a_{2}r'.
Viu como cada ordem de derivada sobe uma unidade porque começamos com r'?

Resposta

L\bigl[r'\bigr]=a_{0}r^{(n+1)}+a_{1}r^{(n)}+\cdots+a_{n}r'.

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