Seja
o operador diferencial linear definido por
onde
são constantes reais.
Encontre
.
Passo 1
O enunciado define um operador diferencial linear
por
onde
são constantes reais. O que a questão pede é calcular
, ou seja, aplicar o operador
à função
(a derivada de
) e escrever o resultado de forma explícita.
Informações relevantes dadas:
são constantes reais.
age sobre uma função
combinando derivadas de ordens até
.
Queremos , isto é, substituir
em
.
Queremos
Passo 2
Primeiro, entenda a notação de derivadas usada:
-
significa a -ésima derivada de em relação à variável (por exemplo, ). Ex.: , . - Para
, é a primeira derivada, a segunda, e assim por diante.
Um ponto importante: a operação de tomar derivadas é iterativa. Se eu tomar a derivada de
mais uma vez, obtenho
. Se eu tomar a derivada de
vezes, obtenho a derivada de
de ordem
. Vou usar isso na conta.
Passo 3
Mostre a propriedade fundamental que vamos usar: para todo inteiro
,
Explicação simples: para
isso diz
, que é óbvio. Se
vale, então derivando ambos os lados uma vez obtemos
. Assim por indução a igualdade vale para todo
. Em palavras: derivar
vezes é o mesmo que derivar
vezes.
Passo 4
Agora aplicamos
à função
. Pela definição de
,
Usando a propriedade do passo anterior, substituímos cada termo
por
. Isso dá
Passo 5
Escrevendo de forma indexada, uma forma compacta é
Essa soma corresponde exatamente aos termos do passo anterior: para
temos
, para
temos
, e para
temos
.
Passo 6
Para fixar a ideia, um exemplo concreto: se
e
então
Viu como cada ordem de derivada sobe uma unidade porque começamos com
?