Seja \langle\cdot, \cdot\rangle: \mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} o produto escalar usual do \mathbb{R}^{2} e J: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} a multiplicação por i. Prove que J é um operador linear antissimétrico e preserva produto escalar, isto é
O enunciado considera o espaço vetorial \mathbb{C} visto como \mathbb{R}^2 com o produto escalar usual de \mathbb{R}^2 e define J\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C} por
Para provar a linearidade sobre \mathbb{R}, basta usar a distributividade e a compatibilidade de multiplicação por escalar em \mathbb{C}. Se \alpha\in\mathbb{R} e z,w\in\mathbb{C}, então