Seja \langle\cdot, \cdot\rangle: \mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} o produto escalar usual do \mathbb{R}^{2} e J: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} a multiplicação por i. Prove que J é um operador linear antissimétrico e preserva produto escalar, isto é
\left\{\begin{array}{l} J(z+\alpha w)=J(z)+\alpha J(w) \\\ \langle J(z), w\rangle+\langle z, J(w)\rangle=0 \\\ \langle J(z), J(w)\rangle=\langle z, w\rangle \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial \mathbb{C} visto como \mathbb{R}^2 com o produto escalar usual de \mathbb{R}^2 e define J\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C} por
J(z)=i\,z.
Precisamos mostrar três propriedades de J:
  1. linearidade sobre escalares reais;
  2. antissimetria: \langle J(z),w\rangle+\langle z,J(w)\rangle=0;
  3. isometria: \langle J(z),J(w)\rangle=\langle z,w\rangle.

Passo 2

Para provar a linearidade sobre \mathbb{R}, basta usar a distributividade e a compatibilidade de multiplicação por escalar em \mathbb{C}. Se \alpha\in\mathbb{R} e z,w\in\mathbb{C}, então
J(z+\alpha w)=i\,(z+\alpha w)=i\,z+\alpha\,(i\,w)=J(z)+\alpha\,J(w).

Passo 3

Usamos a representação do produto escalar em \mathbb{R}^2 via parte real do produto complexo:
\langle u,v\rangle=\Re\bigl(u\,\overline{v}\bigr).
Então, para z,w\in\mathbb{C},
\langle J(z),w\rangle+\langle z,J(w)\rangle =\Re\bigl(i\,z\,\overline{w}\bigr)+\Re\bigl(z\,\overline{i\,w}\bigr).
Como \overline{i\,w}=-\,i\,\overline{w}, o segundo termo fica
\Re\bigl(z\,(-i)\,\overline{w}\bigr) =-\Re\bigl(i\,z\,\overline{w}\bigr).
Logo a soma é zero, o que prova a antissimetria:
\langle J(z),w\rangle+\langle z,J(w)\rangle=0.

Passo 4

Para ver que J preserva o produto escalar, compute-se
\langle J(z),J(w)\rangle =\Re\bigl(i\,z\,\overline{i\,w}\bigr) =\Re\bigl(i\,z\,(-i)\,\overline{w}\bigr) =\Re\bigl(z\,\overline{w}\bigr) =\langle z,w\rangle.
Isso mostra que J é isométrico.

Resposta

As três propriedades ficam estabelecidas:
(a) J(z+\alpha w)=J(z)+\alpha J(w).
(b) \langle J(z),w\rangle+\langle z,J(w)\rangle=0.
(c) \langle J(z),J(w)\rangle=\langle z,w\rangle.

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