Seja
uma amostra aleatória da distribuç̧ão normal-padrão. Defina
Qual a distribuição de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a distribuição de
, onde
e
são médias de partes diferentes de uma amostra aleatória retirada de uma distribuição normal-padrão. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as médias de amostras normais e as propriedades das distribuições normais.
Passo 2
Primeiro, sabemos que cada
é uma variável aleatória que segue a distribuição normal-padrão, ou seja,
. Quando a gente tira a média de várias variáveis normais independentes, a média também segue uma distribuição normal. A média
é a média dos primeiros
elementos da amostra.
Passo 3
A média
é calculada como:
Como cada
tem média 0 e variância 1, a média
terá média também 0 e variância
. Então:
Passo 4
De maneira similar, a média
é a média dos próximos
elementos da amostra:
Seguindo o mesmo raciocínio, essa média também segue uma distribuição normal com média 0 e variância
:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a distribuição da diferença entre essas duas médias, dividida por 2:
Como
e
são independentes (pois são médias de partes distintas da amostra), a diferença delas também é uma variável normal. A variância da diferença é a soma das variâncias individuais:
Portanto:
Passo 6
Agora, ao dividir essa diferença por 2, estamos escalando a variável normal. Sabemos que se
, então
. Aplicando isso:
Simplificando:
Resposta
A distribuição de
é normal com média zero e variância
. Ou seja: