Seja X1, ldots, Xn uma amostra aleatória da distribuç̧ão normal-padrão. Defina
barXk=1k sumi=1^k Xi e barXn-k=1n-k sumi=k+1^n Xi
Qual a distribuição de (barXk-barXn-k) / 2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a distribuição de (barXk - barXn-k) / 2, onde barXk e barXn-k são médias de partes diferentes de uma amostra aleatória retirada de uma distribuição normal-padrão. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as médias de amostras normais e as propriedades das distribuições normais.

Passo 2

Primeiro, sabemos que cada Xi é uma variável aleatória que segue a distribuição normal-padrão, ou seja, Xi sim N(0, 1). Quando a gente tira a média de várias variáveis normais independentes, a média também segue uma distribuição normal. A média barXk é a média dos primeiros k elementos da amostra.

Passo 3

A média barXk é calculada como:
barXk = 1k sumi=1^k Xi
Como cada Xi tem média 0 e variância 1, a média barXk terá média também 0 e variância 1k. Então:
barXk sim N(0, 1k)

Passo 4

De maneira similar, a média barXn-k é a média dos próximos n-k elementos da amostra:
barXn-k = 1n-k sumi=k+1^n Xi
Seguindo o mesmo raciocínio, essa média também segue uma distribuição normal com média 0 e variância 1n-k:
barXn-k sim N(0, 1n-k)

Passo 5

Agora, queremos encontrar a distribuição da diferença entre essas duas médias, dividida por 2:
barXk - barXn-k2
Como barXk e barXn-k são independentes (pois são médias de partes distintas da amostra), a diferença delas também é uma variável normal. A variância da diferença é a soma das variâncias individuais:
Var(barXk - barXn-k) = 1k + 1n-k
Portanto:
barXk - barXn-k sim N(0, 1k + 1n-k)

Passo 6

Agora, ao dividir essa diferença por 2, estamos escalando a variável normal. Sabemos que se Y sim N(mu, sigma^2), então aY sim N(amu, a^2sigma^2). Aplicando isso:
barXk - barXn-k2 sim N(0, (12)^2 (1k + 1n-k))
Simplificando:
barXk - barXn-k2 sim N(0, 14(1k + 1n-k))

Resposta

A distribuição de (barXk - barXn-k) / 2 é normal com média zero e variância 14(1k + 1n-k). Ou seja:
barXk - barXn-k2 sim N(0, 14(1k + 1n-k))

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