Sejam
e
, independentes. Obtenha as distribuições de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos duas variáveis aleatórias, $ X_1 $ e $ X_2 $, que seguem uma distribuição normal padrão, ou seja, $ X_1 \sim N(0,1) $ e $ X_2 \sim N(0,1) $. Além disso, essas variáveis são independentes. Nossa missão é encontrar as distribuições de combinações dessas duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições normais e como elas se comportam quando combinamos variáveis independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a soma das duas variáveis, $ Y = X_1 + X_2 $. Como $ X_1 $ e $ X_2 $ são independentes e ambos seguem uma distribuição normal, sabemos que a soma deles também seguirá uma distribuição normal. A média dessa nova distribuição será a soma das médias das individuais, e a variância será a soma das variâncias.
Passo 3
Calculando a média de $ Y $:
Calculando a variância de $ Y $:
Então, a distribuição de $ Y $ é:
Passo 4
Agora, vamos considerar a diferença das duas variáveis, $ Z = X_1 - X_2 $. Novamente, como $ X_1 $ e $ X_2 $ são independentes e normais, a diferença também seguirá uma distribuição normal. A média será a diferença das médias, e a variância será a soma das variâncias (porque a variância de $ -X_2 $ é a mesma que de $ X_2 $).
Passo 5
Calculando a média de $ Z $:
Calculando a variância de $ Z $:
Então, a distribuição de $ Z $ é:
Resposta
As distribuições são: