1. Seja a_{n}=\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n^{2}}\right). Calcule \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n}=\prod_{k=1}^{n}\Bigl(1+\frac{k}{n^{2}}\Bigr)
e pede \lim_{n\to\infty}a_{n}. Vamos tratar esse produto como um produto infinito aproximado por soma de logaritmos, aplicando a expansão em série de \ln(1+x).

Passo 2

Definimos
L_{n}=\ln\bigl(a_{n}\bigr)=\sum_{k=1}^{n}\ln\Bigl(1+\frac{k}{n^{2}}\Bigr).
Para n grande, cada termo \frac{k}{n^{2}} é pequeno, então usamos a expansão
\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+O(x^{3}),
com x=\tfrac{k}{n^{2}}. Assim
L_{n} =\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{k}{n^{2}}-\frac12\frac{k^{2}}{n^{4}}+O\bigl(\frac{k^{3}}{n^{6}}\bigr)\Bigr).

Passo 3

Agora separamos as somas principais:
S_{1}=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}} =\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)}{2} =\frac12+\frac{1}{2n},
S_{2}=\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{n^{4}} =\frac{1}{n^{4}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6n^{4}} =\frac{1}{3n}+O\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr).
Os termos de ordem O(k^{3}/n^{6}) geram ao todo O(1/n^{2}) e são desprezíveis no limite.

Passo 4

Substituindo em L_{n}:
L_{n} =S_{1}-\frac12\,S_{2}+O\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr) =\Bigl(\frac12+\frac{1}{2n}\Bigr) -\frac12\Bigl(\frac{1}{3n}+O\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)\Bigr) +O\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr).
Logo
L_{n} =\frac12+\Bigl(\frac{1}{2n}-\frac{1}{6n}\Bigr)+O\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr) =\frac12+O\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).
Tomando limite em n\to\infty obtemos \lim L_{n}=\tfrac12. Então
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}e^{L_{n}} =e^{1/2} =\sqrt{e}.

Resposta

\sqrt{e}

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