Seja A=\left\{a ; a \in \mathbb{Q}\right. e \left.a^{3}<2\right\}.
Mostre que se a \in A e b<a, então b \in A.

Passo 1

O enunciado define
\displaystyle A = \{\,a\in\mathbb{Q}\mid a^3<2\}
e pede para mostrar que, se a\in A e b<a, então b\in A.
Ou seja, precisamos verificar duas coisas:
  1. b é racional (para pertencer a A deve valer b\in\mathbb{Q}).
  2. b^3<2.

Passo 2

Como o enunciado só faz sentido interpretando-se que comparações são em \mathbb{Q}, assumimos b\in\mathbb{Q} e b<a. Para mostrar b^3<2 usamos a fatoração da diferença de cubos:
b^3 - a^3 = (b - a)\,(b^2 + ba + a^2).
Como b<a, temos b - a<0. Além disso, para quaisquer reais a,b vale
b^2 + ba + a^2 = \frac12\bigl((b-a)^2 + (a^2 + b^2)\bigr)>0.
Logo o produto (b-a)\,(b^2+ba+a^2) é negativo, ou seja,
b^3 - a^3<0 \quad\Longrightarrow\quad b^3 < a^3.
Mas a\in A implica a^3<2. Combinando,
b^3 < a^3 < 2 \quad\Longrightarrow\quad b^3<2.

Passo 3

Concluímos que b\in\mathbb{Q} e b^3<2, ou seja, b satisfaz as duas condições para pertencer a A. Portanto
b\in A.

Resposta

Mostramos que qualquer b\in\mathbb{Q} com b<a e a\in A satisfaz b^3<2, logo b\in A.

Exercícios relacionados