Seja A=\left\{a ; a \in \mathbb{Q}\right. e \left.a^{3}<2\right\}.
Mostre que se a \notin A e b>a, então b \notin A.

Passo 1

O enunciado define
A = \{\,a \in \mathbb{Q}\mid a^3 < 2\}.
Queremos mostrar que, para quaisquer a,b \in \mathbb{Q}, se a \notin A e b>a, então b \notin A. O ponto chave é usar que a função f(x)=x^3 é estritamente crescente em \mathbb{R}.

Passo 2

Para a \in \mathbb{Q} temos
a \notin A \iff \text{não }(a^3 < 2) \iff a^3 \ge 2.ã

Passo 3

Como f(x)=x^3 é estritamente crescente em \mathbb{R}, de b>a segue
b^3 > a^3.

Passo 4

Da desigualdade a^3 \ge 2 e de b^3 > a^3 concluímos
b^3 > 2 \implies b^3 \ge 2.

Passo 5

Como b \in \mathbb{Q} e b^3 \ge 2, segue que b \notin A, pois para pertencer a A seria necessário b^3 < 2.

Resposta

Portanto, se a \notin A e b > a, então b \notin A.

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