Seja B=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 3 & 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 2 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 3 \\\\ 0 & 5\end{array}\right]\right\}. Mostre que B é uma base de M(2,2) e determine as coordenadas de A=\left[\begin{array}{cc}-7 & 11 \\\\ 4 & 49\end{array}\right] com relação a essa base.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto B formado por quatro matrizes de M(2,2):
As informações relevantes fornecidas são exatamente as quatro matrizes que formam B e a matriz A cujas coordenadas queremos.]
Passo 2
O que significa dizer que B é uma base de M(2,2)? Vou explicar de forma direta e prática:
M(2,2) é o espaço vetorial de todas as matrizes 2\times2. Esse espaço tem dimensão 4 (porque uma matriz 2\times2 tem quatro entradas independentes).
Um conjunto de vetores (aqui: matrizes) é base se satisfaz duas condições equivalentes e úteis:
são linearmente independentes e geram o espaço; ou
têm exatamente 4 vetores e são linearmente independentes (então automaticamente geram todo o espaço).
Portanto, para provar que B é base basta mostrar que suas quatro matrizes são linearmente independentes. Vou fazer isso resolvendo a combinação linear homogênea e mostrando que só a solução trivial existe.
Passo 3
Considere coeficientes \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\in\mathbb{R} e a combinação linear
Vamos escrever essa igualdade por entradas (isso é a forma mais direta de transformar o problema em um sistema linear). Equacionando entrada a entrada, obtemos:
A quarta equação exige que isso seja 0, logo -\dfrac{2}{3}\alpha_1=0. Portanto \alpha_1=0. Substituindo de volta, obtemos \alpha_2=0, \alpha_3=0, \alpha_4=0.
Concluímos que a única solução da combinação linear homogênea é a solução trivial. Assim as quatro matrizes são linearmente independentes.
Passo 5
Como M(2,2) tem dimensão 4 e B contém exatamente 4 vetores (matrizes) linearmente independentes, segue que B é uma base de M(2,2). (Isto é um teorema padrão: em um espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes é base.)
Passo 6
Agora encontramos as coordenadas de A em relação a B. Precisamos de escalares x_1,x_2,x_3,x_4 tais que
Faça uma checagem rápida (opcional, mas reconfortante): compute as entradas com esses x_i e confira que batem com A. Já verificado durante a resolução que as equações são satisfeitas (por exemplo a quarta equação deu 49), então os valores são consistentes.
Portanto as coordenadas de A em relação à base B são os escalares