(15 pts.) Sejam
e
dois subespaços do
. Encontre uma base para
.
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
e pede uma base para a intersecção
.
- O subespaço
é o conjunto dos vetores que satisfazem a equação linear
- O subespaço
é gerado pelos vetores e , isto é
O que se pede: encontrar uma base para o conjunto
, isto é, todos os vetores que pertencem simultaneamente a
e a
.
Passo 2
Vamos parametrizar um vetor genérico de
. Como
é gerado por
e
, um vetor qualquer de
tem a forma
onde
. Calculando as coordenadas, obtemos
(Aqui peguei os coeficientes diretos a partir dos vetores geradores de
.)
Passo 3
Agora impomos a condição de pertencer a
: o vetor
acima deve satisfazer
. Substituindo
,
,
na equação de
:
Calculemos o lado esquerdo passo a passo:
Logo a condição vira
Passo 4
Com
, os vetores comuns a
e
têm a forma
com
. Portanto
Explicando didaticamente: a intersecção é um subespaço unidimensional (uma reta passando pela origem) gerada pelo vetor
. Para formar uma base de um subespaço unidimensional basta um vetor não nulo que gere esse subespaço; note que
é não nulo porque tem componentes diferentes de zero.
Passo 5
Verificação rápida (para ficar seguro): o vetor
pertence a
porque é exatamente um dos geradores dados, e pertence a
porque substituindo em
dá
ou seja, satisfaz a equação de
. Logo está mesmo na intersecção.