(15 pts.) Sejam
U=\left\{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3} ;-a+2 b+c=0\right\}
e
W=[(1,0,0),(0,-1,2)]
dois subespaços do \mathbb{R}^{3}. Encontre uma base para

U \cap W.

\mathcal{B}=

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^3 e pede uma base para a intersecção U\cap W.
  • O subespaço U é o conjunto dos vetores (a,b,c)\in\mathbb{R}^3 que satisfazem a equação linear
-a+2b+c=0.
  • O subespaço W é gerado pelos vetores (1,0,0) e (0,-1,2), isto é
W=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,-1,2)\}.
O que se pede: encontrar uma base para o conjunto U\cap W, isto é, todos os vetores que pertencem simultaneamente a U e a W.

Passo 2

Vamos parametrizar um vetor genérico de W. Como W é gerado por (1,0,0) e (0,-1,2), um vetor qualquer de W tem a forma
(\,a,b,c\,)=\alpha(1,0,0)+\beta(0,-1,2)
onde \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Calculando as coordenadas, obtemos
(a,b,c)=(\alpha,\,-\beta,\,2\beta).
(Aqui peguei os coeficientes diretos a partir dos vetores geradores de W.)

Passo 3

Agora impomos a condição de pertencer a U: o vetor (a,b,c) acima deve satisfazer -a+2b+c=0. Substituindo a=\alpha, b=-\beta, c=2\beta na equação de U:
-\alpha + 2(-\beta) + 2\beta = 0.
Calculemos o lado esquerdo passo a passo:
-\alpha + 2(-\beta) + 2\beta = -\alpha -2\beta +2\beta = -\alpha.
Logo a condição vira
-\alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=0.

Passo 4

Com \alpha=0, os vetores comuns a U e W têm a forma
(a,b,c)=(0,\,-\beta,\,2\beta)=\beta(0,-1,2),
com \beta\in\mathbb{R}. Portanto
U\cap W=\operatorname{span}\{(0,-1,2)\}.
Explicando didaticamente: a intersecção é um subespaço unidimensional (uma reta passando pela origem) gerada pelo vetor (0,-1,2). Para formar uma base de um subespaço unidimensional basta um vetor não nulo que gere esse subespaço; note que (0,-1,2) é não nulo porque tem componentes diferentes de zero.

Passo 5

Verificação rápida (para ficar seguro): o vetor (0,-1,2) pertence a W porque é exatamente um dos geradores dados, e pertence a U porque substituindo em -a+2b+c
-0 + 2(-1) + 2 = -2+2 = 0,
ou seja, satisfaz a equação de U. Logo está mesmo na intersecção.

Resposta

\mathcal{B}=\{(0,-1,2)\}

Exercícios relacionados