Seja \left(x_{n}\right) uma sequência de números reais positivos tal que \lim \frac{x_{n}+1}{x_{n}}=L>1. Mostre que ( x_{n} ) é uma sequência ilimitada e, portanto, divergente.
Passo 1
O enunciado nos dá uma sequência \left(x_{n}\right) de números reais positivos e a informação
\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=L>1.
A tarefa é mostrar duas coisas: (i) que \left(x_{n}\right) é uma sequência ilimitada (isto é, não existe M tal que |x_n|\le M para todo n); (ii) a partir disso, concluir que \left(x_{n}\right) é divergente. Essas são as perguntas que vamos responder.
Passo 2
Ideia geral (em linguagem simples): se o quociente \dfrac{x_{n+1}}{x_n} tende para um número L>1, isso significa que, a partir de algum índice, cada termo seguinte é pelo menos um fator ligeiramente maior que o anterior. Quando se multiplica esse fator repetidas vezes, obtém-se um crescimento geométrico que explode para o infinito. Vou transformar essa ideia em argumentos rigorosos usando a definição de limite.
Passo 3
Escolher uma folga positiva a partir de L>1. Como L>1, defina
\delta=\frac{L-1}{2}>0.
Pela definição de limite, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\left|\frac{x_{n+1}}{x_n}-L\right|<\delta.
Isso implica, em particular,
\frac{x_{n+1}}{x_n}>L-\delta.
Como \delta=(L-1)/2, temos L-\delta=1+\delta. Portanto, para todo n\ge N,
\frac{x_{n+1}}{x_n}>1+\delta,
ou seja,
x_{n+1}>(1+\delta)\,x_n\qquad\text{para todo }n\ge N.
Passo 4
Mostrar por indução que a desigualdade acima produz crescimento geométrico nas posteriores iterações. Para k\ge 0 inteiro, consideremos o termo x_{N+k}. Pela desigualdade repetida obtemos:
Caso base k=0: x_{N+0}=x_N = x_N(1+\delta)^0, verdadeiro.
Passo indutivo: suponha que x_{N+k}>x_N(1+\delta)^k. Então, usando x_{N+k+1}>(1+\delta)x_{N+k},
Analisar o comportamento da sequência geométrica (1+\delta)^k. Como \delta>0, tem-se 1+\delta>1, e portanto
\lim_{k\to\infty}(1+\delta)^k=+\infty.
Multiplicando por o número fixo x_N>0 (lembrando que os termos são positivos), concluímos
\lim_{k\to\infty} x_{N+k} = +\infty.
Em palavras: a subsequência \left(x_{N+k}\right)_{k\ge0} tende para +\infty.
Passo 6
Conclusões lógicas finais:
Se uma subsequência de \left(x_n\right) diverge para +\infty, então a sequência inteira é ilimitada (porque os termos dessa subsequência ficam arbitrariamente grandes).
Uma sequência ilimitada não pode ser convergente (uma sequência convergente é sempre limitada). Logo \left(x_n\right) não converge — é divergente. De fato, já mostramos que existe uma subsequência que tende a +\infty, portanto a sequência diverge para +\infty no sentido de que não há limite finito; pelo menos apresenta termos arbitrariamente grandes.
Resposta
A sequência \left(x_n\right) é ilimitada; mais ainda, existe uma subsequência com x_{N+k}\to+\infty, logo \left(x_n\right) é divergente (diverge para +\infty).