Resolva a EDOs abaixo encontrando um fator integrante adequado: \left(x^{2}-9\right) \frac{d y}{d x}+x y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{2}-9\right)\frac{dy}{dx}+x y=0
O que é pedido:
Encontrar um fator integrante adequado;
Resolver a equação (ou seja, obter a solução geral y(x)).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação é de primeira ordem e envolve apenas x e y.
O coeficiente que multiplica \dfrac{dy}{dx} é \left(x^{2}-9\right); portanto a equação é singular em x=\pm 3 (ali o termo que multiplica \dfrac{dy}{dx} anula).
Para x tal que x^{2}\neq 9 podemos dividir por \left(x^{2}-9\right) e escrever a equação em forma linear padrão.
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão é o primeiro passo para aplicar fator integrante. Dividindo por \left(x^{2}-9\right) (assumindo x^{2}\neq 9) obtemos
Multiplicar \mu por uma constante não altera sua função como fator integrante; por isso podemos escolher \mu(x)=(x^{2}-9)^{1/2} em qualquer intervalo onde x^{2}-9 tem sinal fixo (por exemplo x>3 ou x<-3). Para escrita compacta usamos \mu(x)=(x^{2}-9)^{1/2} lembrando da restrição de domínio.
Passo 4
Verificar que \mu funciona e transformar a equação. Sabendo que \mu' = \mu P (veja abaixo o cálculo breve),