Resolva a EDOs abaixo encontrando um fator integrante adequado:
\left(x^{2}-9\right) \frac{d y}{d x}+x y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{2}-9\right)\frac{dy}{dx}+x y=0
O que é pedido:
  • Encontrar um fator integrante adequado;
  • Resolver a equação (ou seja, obter a solução geral y(x)).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é de primeira ordem e envolve apenas x e y.
  • O coeficiente que multiplica \dfrac{dy}{dx} é \left(x^{2}-9\right); portanto a equação é singular em x=\pm 3 (ali o termo que multiplica \dfrac{dy}{dx} anula).
  • Para x tal que x^{2}\neq 9 podemos dividir por \left(x^{2}-9\right) e escrever a equação em forma linear padrão.

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão é o primeiro passo para aplicar fator integrante. Dividindo por \left(x^{2}-9\right) (assumindo x^{2}\neq 9) obtemos
\frac{dy}{dx}+\underbrace{\frac{x}{x^{2}-9}}_{P(x)}\,y=0.
Explicando a ideia do fator integrante (aula rápida e prática):
  • Para uma equação linear de primeira ordem na forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
existe um fator integrante \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)\,Q(x).
  • A fórmula prática para \mu(x) é
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Aqui, P(x) é a função que multiplica y na forma padrão, e Q(x) é o segundo membro (aqui Q(x)=0).

Passo 3

Calcular o integrador exponencial \int P(x)\,dx com P(x)=\dfrac{x}{x^{2}-9}. Fazemos a substituição simples:
u=x^{2}-9\quad\Rightarrow\quad du=2x\,dx.
Assim
\int \frac{x}{x^{2}-9}\,dx=\int \frac{1}{2}\frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln\big|u\big|+\text{const}=\frac{1}{2}\ln\big|x^{2}-9\big|+\text{const}.
Portanto um fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\frac{1}{2}\ln\big|x^{2}-9\big|\right)=\big|x^{2}-9\big|^{1/2}.
Observações práticas:
  • Multiplicar \mu por uma constante não altera sua função como fator integrante; por isso podemos escolher \mu(x)=(x^{2}-9)^{1/2} em qualquer intervalo onde x^{2}-9 tem sinal fixo (por exemplo x>3 ou x<-3). Para escrita compacta usamos \mu(x)=(x^{2}-9)^{1/2} lembrando da restrição de domínio.

Passo 4

Verificar que \mu funciona e transformar a equação. Sabendo que \mu' = \mu P (veja abaixo o cálculo breve),
\mu'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}-9\big)^{1/2}=\frac{1}{2}(x^{2}-9)^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{x^{2}-9}\,\mu(x)=P(x)\,\mu(x).
Multiplicando a equação original por \mu(x) (com x^{2}\neq 9) obtemos
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)\,y=0.
Pelo resultado \mu'=\mu P isso é exatamente
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu'(x)\,y=0\quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=0.

Passo 5

Integrar a igualdade obtida:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=0 \quad\Rightarrow\quad \mu(x)y=C,
onde C é constante arbitrária. Isolando y,
y(x)=\frac{C}{\mu(x)}=C\big(x^{2}-9\big)^{-1/2},
válido em qualquer intervalo onde escolhemos o ramo de \mu (por exemplo x>3 ou x<-3). Podemos também escrever de forma absoluta:
y(x)=\frac{C}{\big|x^{2}-9\big|^{1/2}}.

Passo 6

Verificação rápida (pra ficar seguro): calcular \dfrac{dy}{dx} a partir de y=C(x^{2}-9)^{-1/2}:
\frac{dy}{dx}=-C\frac{1}{2}(x^{2}-9)^{-3/2}\cdot 2x=-C x (x^{2}-9)^{-3/2}.
Substituindo em \left(x^{2}-9\right)\dfrac{dy}{dx}+x y
(x^{2}-9)\big(-C x (x^{2}-9)^{-3/2}\big)+x\big(C(x^{2}-9)^{-1/2}\big)=0,
confirmando que a solução está correta.

Resposta

y(x)=C\big(x^{2}-9\big)^{-1/2}, com C constante e \,x^{2}\neq 9.

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