1. Seja \left(z_{n}\right)_{n \geq 0} uma sequência definida indutivamente por z_{n+1}=z_{n}^{2}. Prove que se \left|z_{0}\right|<1 então \lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=0, e se \left|z_{0}\right|>1 então \lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=\infty.

Passo 1

O enunciado define a sequência \bigl(z_n\bigr)_{n\ge0} por recorrência
z_{n+1} = z_n^2,
e pede para mostrar que, se \lvert z_0\rvert<1 então \lim_{n\to\infty}z_n=0, e se \lvert z_0\rvert>1 então \lim_{n\to\infty}z_n=\infty.
Conteúdo: manipulação de recorrência em valor absoluto e limite de potências.

Passo 2

Defina a_n = \lvert z_n\rvert. Então, usando a propriedade \lvert w^2\rvert = \lvert w\rvert^2, para todo n\ge0 vale
a_{n+1} = \lvert z_{n+1}\rvert = \lvert z_n^2\rvert = \bigl\lvert z_n\bigr\rvert^2 = a_n^2.

Passo 3

Resolvemos a recorrência a_{n+1}=a_n^2 com a_0=\lvert z_0\rvert.
Proposição:
a_n = \bigl(a_0\bigr)^{2^n}\quad\text{para todo }n\ge0.
Prova por indução:
  • Caso n=0: a_0=(a_0)^{2^0} óbvio.
  • Passo indutivo: suponha a_n=(a_0)^{2^n}. Então
a_{n+1} = a_n^2 = \bigl((a_0)^{2^n}\bigr)^2 = (a_0)^{2\cdot2^n} = (a_0)^{2^{n+1}}.
Logo, a fórmula vale para todo n.

Passo 4

Caso \lvert z_0\rvert<1. Então 0\le a_0<1. Como 2^n\to\infty, e para base a_0 em [0,1) vale
\lim_{k\to\infty}(a_0)^k = 0,
temos
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}(a_0)^{2^n} = 0.
Isto implica \lim_{n\to\infty}\lvert z_n\rvert=0, logo \lim_{n\to\infty}z_n=0.

Passo 5

Caso \lvert z_0\rvert>1. Então a_0>1. Novamente 2^n\to\infty, e para base maior que 1 vale
\lim_{k\to\infty}(a_0)^k = \infty,
de onde
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}(a_0)^{2^n} = \infty.
Assim \lvert z_n\rvert\to\infty, isto é, \lim_{n\to\infty}z_n=\infty.

Resposta

Se \lvert z_0\rvert<1, então \lim_{n\to\infty}z_n=0.
Se \lvert z_0\rvert>1, então \lim_{n\to\infty}z_n=\infty.

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