Seja \left(z_{n}\right)_{n \geq 0} uma sequência definida indutivamente por z_{n+1}=z_{n}^{2}. Prove que se \left|z_{0}\right|<1 então \lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=0, e se \left|z_{0}\right|>1 então \lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=\infty.
Passo 1
O enunciado define a sequência \bigl(z_n\bigr)_{n\ge0} por recorrência
z_{n+1} = z_n^2,
e pede para mostrar que, se \lvert z_0\rvert<1 então \lim_{n\to\infty}z_n=0, e se \lvert z_0\rvert>1 então \lim_{n\to\infty}z_n=\infty.
Conteúdo: manipulação de recorrência em valor absoluto e limite de potências.
Passo 2
Defina a_n = \lvert z_n\rvert. Então, usando a propriedade \lvert w^2\rvert = \lvert w\rvert^2, para todo n\ge0 vale