1. Seja ( a_{n} ) uma sequência de números complexos.
    (a) Mostre que se L=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}, então |L|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|.
    (b) Se ocorrer |L|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|, pode-se afirmar que vale L=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado trata de uma sequência (a_{n}) de números complexos e pede duas coisas:
  1. (teoria de limites e continuidade) provar que se
L = \lim_{n\to\infty} a_{n}
então
|L| \;=\;\lim_{n\to\infty} |a_{n}|.
  1. Verificar se a recíproca é válida: sabendo apenas que
|L| \;=\;\lim_{n\to\infty} |a_{n}|,
podemos concluir que \;L=\lim_{n\to\infty}a_{n}?
Para resolver a parte (a) vamos usar a definição de limite e a desigualdade triangular; na parte (b) basta apresentar um contraexemplo simples.

Passo 2

Queremos mostrar que se \lim_{n\to\infty}a_{n}=L então \lim_{n\to\infty}|a_{n}|=|L|.
Pela desigualdade triangular “reversa” sabemos que, para todo n,
\bigl|\,|a_{n}| - |L|\,\bigr|\;\le\;|a_{n}-L|.
Como a_{n}\to L, dado \varepsilon>0 existe N tal que, para n\ge N,
|a_{n}-L|<\varepsilon.
Logo, para n\ge N,
\bigl|\,|a_{n}| - |L|\,\bigr|\le|a_{n}-L|<\varepsilon,
o que, pela definição de limite, implica
\lim_{n\to\infty}|a_{n}|=|L|.

Passo 3

Agora, suponha apenas que
\lim_{n\to\infty}|a_{n}|=|L|.
Isso não garante que a_{n} convirja para L. Por exemplo, defina
a_{n}=(-1)^{n}.
Então para todo n vale |a_{n}|=1, logo
\lim_{n\to\infty}|a_{n}|=1.
Podemos tomar L=1 (ou até L=-1), pois |L|=1. Mas a sequência a_{n}=(-1)^{n} não converge em \mathbb{C}: ela oscila entre 1 e -1.
Portanto, conhecer o limite dos módulos não basta para garantir o limite da própria sequência.

Resposta

(a) Usando
\bigl|\,|a_{n}| - |L|\,\bigr|\le|a_{n}-L|
e a definição de limite, obtemos \lim |a_{n}|=|L|.
(b) Não. Por exemplo, a_{n}=(-1)^{n} tem \lim|a_{n}|=1 mas não converge em \mathbb{C}.

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