Seja A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] e seja k um escalar. Determine uma fórmula que relacione \operatorname{det}(k A) com k e \operatorname{det}(A).

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} de ordem 2 e um escalar k, e pede uma relação entre \det(kA), k e \det(A). O conteúdo aqui é a propriedade de homogeneidade do determinante quanto à multiplicação de uma matriz por um escalar.

Passo 2

Vamos formar a matriz kA multiplicando cada entrada de A por k. Assim,
kA = \begin{pmatrix}ka & kb \\\ kc & kd\end{pmatrix}.
Lembrando que, para uma matriz M=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}, vale
\det(M)=m_{11}m_{22}-m_{12}m_{21}.

Passo 3

Aplicando a definição do determinante em kA, obtemos
\det(kA) = (ka)(kd) - (kb)(kc).
Desenvolvendo,
\det(kA) = k^2\,ad - k^2\,bc = k^2\,(ad - bc).

Passo 4

Como ad - bc = \det(A), concluímos que
\det(kA) = k^2\,\det(A).

Resposta

\det(kA)=k^{2}\det(A).

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