Seja A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] e seja k um escalar. Determine uma fórmula que relacione \operatorname{det}(k A) com k e \operatorname{det}(A).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
e pede \det(kA) em função de k e de \det(A). O conteúdo é a propriedade de homogeneidade do determinante para matrizes 2\times2.

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz escalada kA e aplicamos a definição de determinante em dimensão 2:
kA = \begin{pmatrix}k\,a & k\,b \\[6pt] k\,c & k\,d\end{pmatrix}
\det(kA) = (k\,a)(k\,d) \;-\;(k\,b)(k\,c).]

Passo 3

Agora fatoramos k em cada termo:
\det(kA) = k^2\,(a\,d - b\,c).
Como a\,d - b\,c = \det(A), segue
\det(kA) = k^2\,\det(A).

Resposta

\displaystyle \det(kA)=k^2\det(A)

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