Seja A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 \\\\ 5 & 6 & 0\end{array}\right]. Calcule A^{2} e A^{3}.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & 1 & 4 \\[4pt] 5 & 6 & 0\end{pmatrix},
que é uma matriz quadrada de ordem 3. O que se pede:
  • Calcular A^{2}.
  • Calcular A^{3}.
Anotações úteis que vou usar (sem resolver ainda):
  • Para matrizes quadradas, A^{2}=A\cdot A e A^{3}=A^{2}\cdot A.
  • Cada produto de matrizes será uma multiplicação de linhas por colunas, somando os produtos correspondentes.]

Passo 2

Explicando cuidadosamente como multiplicar duas matrizes 3\times3 (a ideia que vamos aplicar várias vezes).
Seja B e C matrizes 3\times3. O elemento da linha i e coluna j do produto BC é dado por
(BC)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} B_{ik}\,C_{kj}.
Isto significa: pegue a linha i de B e a coluna j de C, multiplique os termos correspondentes e some os três produtos. Vou aplicar isso explicitamente para cada entrada de A^{2} e, em seguida, para A^{3}.

Passo 3

Calcular A^{2}=A\cdot A. Começo pela primeira linha de A multiplicando pelas colunas de A.
Primeira linha de A é (1,\;2,\;3). Colunas de A são:
  • Coluna 1: (1,\;0,\;5).
  • Coluna 2: (2,\;1,\;6).
  • Coluna 3: (3,\;4,\;0).
Agora os produtos linha × coluna:
Cálculo de (A^{2})_{11}:
(A^{2})_{11}=1\cdot1+2\cdot0+3\cdot5=1+0+15=16.
Cálculo de (A^{2})_{12}:
(A^{2})_{12}=1\cdot2+2\cdot1+3\cdot6=2+2+18=22.
Cálculo de (A^{2})_{13}:
(A^{2})_{13}=1\cdot3+2\cdot4+3\cdot0=3+8+0=11.

Passo 4

Segunda linha de A é (0,\;1,\;4). Vou multiplicar por cada coluna de A (mesmas colunas citadas antes).
Cálculo de (A^{2})_{21}:
(A^{2})_{21}=0\cdot1+1\cdot0+4\cdot5=0+0+20=20.
Cálculo de (A^{2})_{22}:
( A^{2})_{22}=0\cdot2+1\cdot1+4\cdot6=0+1+24=25.
Cálculo de (A^{2})_{23}:
( A^{2})_{23}=0\cdot3+1\cdot4+4\cdot0=0+4+0=4.

Passo 5

Terceira linha de A é (5,\;6,\;0). Multiplico por cada coluna de A.
Cálculo de (A^{2})_{31}:
( A^{2})_{31}=5\cdot1+6\cdot0+0\cdot5=5+0+0=5.
Cálculo de (A^{2})_{32}:
( A^{2})_{32}=5\cdot2+6\cdot1+0\cdot6=10+6+0=16.
Cálculo de (A^{2})_{33}:
( A^{2})_{33}=5\cdot3+6\cdot4+0\cdot0=15+24+0=39.

Passo 6

Juntando todos os elementos calculados, obtemos
A^{2}=\begin{pmatrix} 16 & 22 & 11 \\[4pt] 20 & 25 & 4 \\[4pt] 5 & 16 & 39 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora calculo A^{3}=A^{2}\cdot A. A ideia é a mesma: cada entrada de A^{3} vem de uma linha de A^{2} vezes uma coluna de A. Vou repetir o processo linha a linha de A^{2}.
As linhas de A^{2} são:
  • Linha 1: (16,\;22,\;11).
  • Linha 2: (20,\;25,\;4).
  • Linha 3: (5,\;16,\;39).
As colunas de A são (relembrando):
  • Coluna 1: (1,\;0,\;5).
  • Coluna 2: (2,\;1,\;6).
  • Coluna 3: (3,\;4,\;0).

Passo 8

Multiplico a primeira linha de A^{2} por cada coluna de A.
Cálculo de (A^{3})_{11}:
(A^{3})_{11}=16\cdot1+22\cdot0+11\cdot5=16+0+55=71.
Cálculo de (A^{3})_{12}:
(A^{3})_{12}=16\cdot2+22\cdot1+11\cdot6=32+22+66=120.
Cálculo de (A^{3})_{13}:
(A^{3})_{13}=16\cdot3+22\cdot4+11\cdot0=48+88+0=136.

Passo 9

Multiplico a segunda linha de A^{2} por cada coluna de A.
Cálculo de (A^{3})_{21}:
(A^{3})_{21}=20\cdot1+25\cdot0+4\cdot5=20+0+20=40.
Cálculo de (A^{3})_{22}:
(A^{3})_{22}=20\cdot2+25\cdot1+4\cdot6=40+25+24=89.
Cálculo de (A^{3})_{23}:
(A^{3})_{23}=20\cdot3+25\cdot4+4\cdot0=60+100+0=160.

Passo 10

Multiplico a terceira linha de A^{2} por cada coluna de A.
Cálculo de (A^{3})_{31}:
(A^{3})_{31}=5\cdot1+16\cdot0+39\cdot5=5+0+195=200.
Cálculo de (A^{3})_{32}:
(A^{3})_{32}=5\cdot2+16\cdot1+39\cdot6=10+16+234=260.
Cálculo de (A^{3})_{33}:
(A^{3})_{33}=5\cdot3+16\cdot4+39\cdot0=15+64+0=79.

Passo 11

Juntando os elementos calculados para A^{3}, obtemos
A^{3}=\begin{pmatrix} 71 & 120 & 136 \\[4pt] 40 & 89 & 160 \\[4pt] 200 & 260 & 79 \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{2}=\begin{pmatrix}16 & 22 & 11 \\[4pt] 20 & 25 & 4 \\[4pt] 5 & 16 & 39\end{pmatrix}
A^{3}=\begin{pmatrix}71 & 120 & 136 \\[4pt] 40 & 89 & 160 \\[4pt] 200 & 260 & 79\end{pmatrix}

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