que é uma matriz quadrada de ordem 3. O que se pede:
Calcular A^{2}.
Calcular A^{3}.
Anotações úteis que vou usar (sem resolver ainda):
Para matrizes quadradas, A^{2}=A\cdot A e A^{3}=A^{2}\cdot A.
Cada produto de matrizes será uma multiplicação de linhas por colunas, somando os produtos correspondentes.]
Passo 2
Explicando cuidadosamente como multiplicar duas matrizes 3\times3 (a ideia que vamos aplicar várias vezes).
Seja B e C matrizes 3\times3. O elemento da linha i e coluna j do produto BC é dado por
(BC)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} B_{ik}\,C_{kj}.
Isto significa: pegue a linha i de B e a coluna j de C, multiplique os termos correspondentes e some os três produtos. Vou aplicar isso explicitamente para cada entrada de A^{2} e, em seguida, para A^{3}.
Passo 3
Calcular A^{2}=A\cdot A. Começo pela primeira linha de A multiplicando pelas colunas de A.
Primeira linha de A é (1,\;2,\;3). Colunas de A são:
Coluna 1: (1,\;0,\;5).
Coluna 2: (2,\;1,\;6).
Coluna 3: (3,\;4,\;0).
Agora os produtos linha × coluna:
Cálculo de (A^{2})_{11}:
(A^{2})_{11}=1\cdot1+2\cdot0+3\cdot5=1+0+15=16.
Cálculo de (A^{2})_{12}:
(A^{2})_{12}=1\cdot2+2\cdot1+3\cdot6=2+2+18=22.
Cálculo de (A^{2})_{13}:
(A^{2})_{13}=1\cdot3+2\cdot4+3\cdot0=3+8+0=11.
Passo 4
Segunda linha de A é (0,\;1,\;4). Vou multiplicar por cada coluna de A (mesmas colunas citadas antes).
Cálculo de (A^{2})_{21}:
(A^{2})_{21}=0\cdot1+1\cdot0+4\cdot5=0+0+20=20.
Cálculo de (A^{2})_{22}:
( A^{2})_{22}=0\cdot2+1\cdot1+4\cdot6=0+1+24=25.
Cálculo de (A^{2})_{23}:
( A^{2})_{23}=0\cdot3+1\cdot4+4\cdot0=0+4+0=4.
Passo 5
Terceira linha de A é (5,\;6,\;0). Multiplico por cada coluna de A.
Agora calculo A^{3}=A^{2}\cdot A. A ideia é a mesma: cada entrada de A^{3} vem de uma linha de A^{2} vezes uma coluna de A. Vou repetir o processo linha a linha de A^{2}.
As linhas de A^{2} são:
Linha 1: (16,\;22,\;11).
Linha 2: (20,\;25,\;4).
Linha 3: (5,\;16,\;39).
As colunas de A são (relembrando):
Coluna 1: (1,\;0,\;5).
Coluna 2: (2,\;1,\;6).
Coluna 3: (3,\;4,\;0).
Passo 8
Multiplico a primeira linha de A^{2} por cada coluna de A.