Resolva, em 0 \leq x<2 \pi :
\sin x+\cos x=1

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação trigonométrica \sin x + \cos x = 1 no intervalo \(0 \le x < 2\pi).
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A equação é \sin x + \cos x = 1.
  • O domínio de interesse é \(0 \le x < 2\pi).
  • Precisamos achar todos os valores de x nesse intervalo que satisfazem a equação.

Passo 2

Ideia geral que vou usar (explicação didática): transformar a soma \sin x + \cos x num único seno com fase deslocada, porque fica mais fácil resolver. Existe uma identidade prática para combinar termos assim:
A\sin x + B\cos x = R\sin(x+\varphi),
onde R=\sqrt{A^{2}+B^{2}} e o ângulo \varphi satisfaz
\cos\varphi=\frac{A}{R},\qquad \sin\varphi=\frac{B}{R}.
Explicando: expandindo o lado direito,
R\sin(x+\varphi)=R(\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi)=R\cos\varphi\sin x+R\sin\varphi\cos x,
e ao comparar coeficientes com A\sin x+B\cos x obtemos A=R\cos\varphi e B=R\sin\varphi. Esse método evita armadilhas de extrair raízes falsas que podem aparecer ao elevar os dois lados ao quadrado.

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso caso com A=1 e B=1:
R=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Agora determinamos \varphi por
\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad \sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Esses valores correspondem a \varphi=\dfrac{\pi}{4} (ângulo no primeiro quadrante com seno e cosseno iguais). Portanto podemos escrever
\sin x+\cos x=\sqrt{2}\,\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right).

Passo 4

Substituindo na equação original:
\sqrt{2}\,\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1.
Isolando o seno:
\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Agora precisamos resolver a equação \sin y = \dfrac{\sqrt{2}}{2} para y=x+\dfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Soluções gerais da equação \sin y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}:
y=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{ou}\quad y=\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Voltando para x (lembre que y=x+\dfrac{\pi}{4}):
x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\Rightarrow\quad x=2k\pi,
ou
x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi.

Passo 6

Agora impomos o domínio \(0 \le x < 2\pi) e achamos os k inteiros que dão soluções nesse intervalo.
Para x=2k\pi: com k=0 temos x=0 (válido). Com k=1 temos x=2\pi que não pertence ao intervalo porque o extremo superior é exclusivo. Para k<0 obtém-se valores negativos. Então, da primeira família sobra apenas x=0.
Para x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi: com k=0 temos x=\dfrac{\pi}{2} (válido). Com k=1 temos x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi>2\pi (fora do intervalo). Com k=-1 ficaria negativo. Portanto sobra x=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 7

Verificação rápida (bom hábito para não se enganar):
  • Para x=0: \sin 0+\cos 0=0+1=1. OK.
  • Para x=\dfrac{\pi}{2}: \sin\dfrac{\pi}{2}+\cos\dfrac{\pi}{2}=1+0=1. OK.
Concluímos que são essas as únicas soluções no intervalo pedido.

Resposta

x=0
x=\dfrac{\pi}{2}

Exercícios relacionados