Resolva, em
:
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação trigonométrica
no intervalo
).
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A equação é
. - O domínio de interesse é ).
- Precisamos achar todos os valores de
nesse intervalo que satisfazem a equação.
Passo 2
Ideia geral que vou usar (explicação didática): transformar a soma
num único seno com fase deslocada, porque fica mais fácil resolver. Existe uma identidade prática para combinar termos assim:
onde
e o ângulo
satisfaz
Explicando: expandindo o lado direito,
e ao comparar coeficientes com
obtemos
e
. Esse método evita armadilhas de extrair raízes falsas que podem aparecer ao elevar os dois lados ao quadrado.
Passo 3
Aplicando a identidade ao nosso caso com
e
:
Agora determinamos
por
Esses valores correspondem a
(ângulo no primeiro quadrante com seno e cosseno iguais). Portanto podemos escrever
Passo 4
Substituindo na equação original:
Isolando o seno:
Agora precisamos resolver a equação
para
.
Passo 5
Soluções gerais da equação
:
Voltando para
(lembre que
):
ou
Passo 6
Agora impomos o domínio
) e achamos os
inteiros que dão soluções nesse intervalo.
Para
: com
temos
(válido). Com
temos
que não pertence ao intervalo porque o extremo superior é exclusivo. Para
obtém-se valores negativos. Então, da primeira família sobra apenas
.
Para
: com
temos
(válido). Com
temos
(fora do intervalo). Com
ficaria negativo. Portanto sobra
.
Passo 7
Verificação rápida (bom hábito para não se enganar):
- Para
: . OK. - Para
: . OK.
Concluímos que são essas as únicas soluções no intervalo pedido.