Seja m \in \mathbb{N},
(a) Quais são os possíveis restos de dividir m^{2} por 7 ?
(b) Mostre que se 7 \mid\left(m^{2}+n^{2}\right), então 7 \mid n e 7 \mid m.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(a) Pergunta quais são os possíveis restos ao dividir \,m^{2}\, por \,7\,, com \,m\in\mathbb{N}\,.
(b) Pede para mostrar que, se \;7\mid\left(m^{2}+n^{2}\right)\; (ou seja, se \,m^{2}+n^{2}\equiv0\pmod{7}\,), então \;7\mid m\; e \;7\mid n\;.
Informações dadas/assumidas: \,m\in\mathbb{N}\, e \,n\in\mathbb{Z}\, (podemos trabalhar com inteiros). Vamos usar aritmética modular módulo \,7.

Passo 2

Ideia principal que vamos usar (explicação didática): o resto de \,m^{2}\, ao dividir por \,7\, depende só da classe de congruência de \,m módulo \,7. Ou seja, se sabemos \,m\pmod{7}\, (ou seja, o resto de \,m\, por \,7), podemos calcular \,m^{2}\pmod{7}\,. Por isso basta examinar os possíveis restos de \,m ao dividir por \,7: \,0,1,2,3,4,5,6\,. Observação útil: ({-}a)^{2}=a^{2}, então não precisamos calcular todos separadamente — há simetria entre a e 7-a.

Passo 3

Calculemos \,m^{2}\pmod{7}\, para as classes representantes \,0,1,2,3 (as demais seguem pela simetria):
  • Para \,m\equiv0\pmod{7}: temos \,m^{2}\equiv0^{2}\equiv0\pmod{7}.
  • Para \,m\equiv1\pmod{7}: temos \,m^{2}\equiv1^{2}\equiv1\pmod{7}.
  • Para \,m\equiv2\pmod{7}: temos \,m^{2}\equiv2^{2}\equiv4\pmod{7}.
  • Para \,m\equiv3\pmod{7}: temos \,m^{2}\equiv3^{2}\equiv9\equiv2\pmod{7}, porque 9-7=2.

Passo 4

Agora usemos a simetria (7-a)^{2}\equiv a^{2}\pmod{7} para as classes restantes:
  • \,4\equiv -3\pmod{7} então \,4^{2}\equiv3^{2}\equiv2\pmod{7}.
  • \,5\equiv -2\pmod{7} então \,5^{2}\equiv2^{2}\equiv4\pmod{7}.
  • \,6\equiv -1\pmod{7} então \,6^{2}\equiv1^{2}\equiv1\pmod{7}.

Passo 5

Concluímos os possíveis restos de \,m^{2}\, ao dividir por \,7: são exatamente \,0,1,2,4\,. (Resumo: a lista obtida nas contas foi \{0,1,4,2\}, que ordenando fica \{0,1,2,4\}.)

Passo 6

Agora para a parte (b): partimos da hipótese \;7\mid\left(m^{2}+n^{2}\right)\;, isto é
m^{2}+n^{2}\equiv0\pmod{7}.
Pela parte (a), cada um dos quadrados \,m^{2}\, e \,n^{2}\, é congruente a um elemento do conjunto \{0,1,2,4\} módulo \,7.

Passo 7

Vamos verificar se é possível obter soma zero módulo \,7 usando dois elementos de \{0,1,2,4\}.
  • Se um dos quadrados for 0 modulo 7, digamos m^{2}\equiv0\pmod{7}, então da equação m^{2}+n^{2}\equiv0\pmod{7} segue n^{2}\equiv0\pmod{7}. Logo ambos seriam 0 modulo 7 — nesse caso \,7\mid m e \,7\mid n.
  • Se nenhum dos quadrados for 0 (ou seja, ambos pertencem ao subconjunto \{1,2,4\}), então precisamos ver se existe a,b\in\{1,2,4\} tais que a+b\equiv0\pmod{7}. Em outras palavras, precisamos que b\equiv -a\pmod{7}. Vamos listar os negativos:
    -1\equiv6\pmod{7},\qquad -2\equiv5\pmod{7},\qquad -4\equiv3\pmod{7}.
    Observação: 3,5,6 não pertencem ao conjunto \{1,2,4\}. Portanto não existe b\in\{1,2,4\} igual a -a\pmod{7} para qualquer a\in\{1,2,4\}.

Passo 8

Da análise anterior segue que a soma de dois elementos não nulos do conjunto \{1,2,4\} nunca é congruente a 0\pmod{7}. Assim a única possibilidade para ter m^{2}+n^{2}\equiv0\pmod{7} é que ambos os quadrados sejam congruentes a 0\pmod{7}. Portanto
m^{2}\equiv0\pmod{7}\quad\text{e}\quad n^{2}\equiv0\pmod{7},
o que implica \;7\mid m\; e \;7\mid n\;.

Resposta

(a) Os possíveis restos são \;0,1,2,4\;.
(b) Se \;7\mid(m^{2}+n^{2})\; então \;7\mid m\; e \;7\mid n.

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