Seja
,
(a) Quais são os possíveis restos de dividir
por 7 ?
(b) Mostre que se
, então
e
.
(a) Quais são os possíveis restos de dividir
(b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
(a) Pergunta quais são os possíveis restos ao dividir
por
, com
.
(b) Pede para mostrar que, se
(ou seja, se
), então
e
.
Informações dadas/assumidas:
e
(podemos trabalhar com inteiros). Vamos usar aritmética modular módulo
.
Passo 2
Ideia principal que vamos usar (explicação didática): o resto de
ao dividir por
depende só da classe de congruência de
módulo
. Ou seja, se sabemos
(ou seja, o resto de
por
), podemos calcular
. Por isso basta examinar os possíveis restos de
ao dividir por
:
. Observação útil:
, então não precisamos calcular todos separadamente — há simetria entre
e
.
Passo 3
Calculemos
para as classes representantes
(as demais seguem pela simetria):
- Para
: temos . - Para
: temos . - Para
: temos . - Para
: temos , porque .
Passo 4
Agora usemos a simetria
para as classes restantes:
-
então . -
então . -
então .
Passo 5
Concluímos os possíveis restos de
ao dividir por
: são exatamente
. (Resumo: a lista obtida nas contas foi
, que ordenando fica
.)
Passo 6
Agora para a parte (b): partimos da hipótese
, isto é
Pela parte (a), cada um dos quadrados
e
é congruente a um elemento do conjunto
módulo
.
Passo 7
Vamos verificar se é possível obter soma zero módulo
usando dois elementos de
.
-
Se um dos quadrados for
modulo , digamos , então da equação segue . Logo ambos seriam modulo — nesse caso e . -
Se nenhum dos quadrados for
(ou seja, ambos pertencem ao subconjunto ), então precisamos ver se existe tais que . Em outras palavras, precisamos que . Vamos listar os negativos: Observação:não pertencem ao conjunto . Portanto não existe igual a para qualquer .
Passo 8
Da análise anterior segue que a soma de dois elementos não nulos do conjunto
nunca é congruente a
. Assim a única possibilidade para ter
é que ambos os quadrados sejam congruentes a
. Portanto
o que implica
e
.
Resposta
(a) Os possíveis restos são
.
(b) Se
então
e
.