Questão 11: Verifique a dependência linear dos vetores
Passo 1
O enunciado pede para verificar a dependência linear do conjunto de quatro matrizes (vou chamar cada matriz de
):
O que se pede explicitamente: determinar se essas matrizes são linearmente independentes ou dependentes e, em caso de dependência, encontrar uma relação linear não trivial entre elas.]
Passo 2
O que significa verificar dependência linear (explicando devagar como numa prova): dizemos que
são linearmente dependentes se existem escalares não todos nulos
tais que
O método prático é montar essa combinação linear, escrever as equações que aparecem em cada entrada da matriz (cada entrada gera uma equação escalar) e resolver o sistema linear resultante. Se existir solução não trivial (algum
), então são dependentes. Vamos aplicar isso passo a passo.]
Passo 3
Introduzo os escalares
e escrevo a combinação:
Agora igualo entrada por entrada para obter um sistema de equações escalares.]
Passo 4
Escrevo as quatro equações correspondentes às entradas
Explico: por exemplo, a entrada
, e assim por diante para cada posição.]
Passo 5
Resolvendo o sistema de forma direta por substituição (vou mostrar cada passo):
a) Da primeira equação obtenho
a) Da primeira equação obtenho
b) Substituo
na terceira equação:
Isso simplifica para
ou seja
Passo 6
Continuo substituindo na segunda equação, usando
:
logo
Com
e
, volto à expressão de
:
Passo 7
Verifico a consistência usando a quarta equação (checar sempre é bom):
substituindo ,
,
em
dá
substituindo
portanto a quarta equação também é satisfeita. Concluímos que existe uma família de soluções parametrizada por
: tomando
temos
com
. Como podemos escolher
, existe solução não trivial.
Passo 8
Escrevo a relação linear não trivial obtida dividindo por
(ou tomando
):
Isto significa que as quatro matrizes são linearmente dependentes. Outra forma útil de ver é isolar
:
ou seja
é combinação linear das três primeiras. Além disso, a solução mostra que
são linearmente independentes (se tentarmos
o único
que zera a combinação é o trivial — pode-se checar rapidamente), portanto a dimensão do subespaço gerado por essas matrizes é
.]
Resposta
As matrizes são linearmente dependentes.
Relação linear:
]