Seja M o ponto médio exato do segmento de reta definido pelos pontos A e B. Qual das seguintes equações vetoriais é verdadeira?
a) \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}
b) \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}
c) \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{M A}
d) \overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{0}
Passo 1
O enunciado dá que M é o ponto médio exato do segmento de reta determinado pelos pontos A e B. Ou seja, M está sobre o segmento AB e divide esse segmento em duas partes congruentes.
As alternativas fornecidas são:
a) \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}
b) \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}
c) \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{M A}
d) \overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{0}
O que se pede: determinar qual (uma e exatamente uma) dessas igualdades vetoriais é verdadeira dado que M é o ponto médio de AB.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar regras vetoriais básicas que usaremos (passo a passo e com linguagem simples).
Definição de vetor entre dois pontos: \overrightarrow{XY} é o vetor que vai do ponto X até o ponto Y. Ele tem direção de X para Y e módulo igual à distância XY.
Regra do polígono (ou regra do triângulo) para somar vetores: se seguirmos o caminho A\to M\to B, então
Isto é só dizer que o vetor total do início ao fim é a soma dos “trechos” intermediários.
Relação entre \overrightarrow{AM} e \overrightarrow{MA}: são opostos,
\overrightarrow{M A}=-\overrightarrow{A M}.
Isto é porque um vai de A a M e o outro de M a A.
Passo 3
Agora use a propriedade específica do ponto médio. Se M é o ponto médio de AB, então os dois subsegmentos AM e MB têm mesma direção e mesmo comprimento, apontando ambos de A para B (isto é, M está entre A e B e divide o segmento igualmente). Em termos vetoriais isso dá
\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{M B}.
Aplicando a regra do polígono \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{M B} e substituindo \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{A M}, obtemos
Como -\overrightarrow{A B} em geral não é o vetor nulo (exceto no caso degenerado A=B, que não é o caso habitual), a igualdade da alternativa (a) não é verdadeira.
Passo 5
Teste da alternativa (b): calcular \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}. Substituindo: