Seja M o ponto médio exato do segmento de reta definido pelos pontos A e B. Qual das seguintes equações vetoriais é verdadeira?
a) \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}
b) \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}
c) \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{M A}
d) \overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{0}

Passo 1

O enunciado dá que M é o ponto médio exato do segmento de reta determinado pelos pontos A e B. Ou seja, M está sobre o segmento AB e divide esse segmento em duas partes congruentes.
As alternativas fornecidas são:
a) \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}
b) \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}
c) \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{M A}
d) \overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{0}
O que se pede: determinar qual (uma e exatamente uma) dessas igualdades vetoriais é verdadeira dado que M é o ponto médio de AB.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar regras vetoriais básicas que usaremos (passo a passo e com linguagem simples).
  • Definição de vetor entre dois pontos: \overrightarrow{XY} é o vetor que vai do ponto X até o ponto Y. Ele tem direção de X para Y e módulo igual à distância XY.
  • Regra do polígono (ou regra do triângulo) para somar vetores: se seguirmos o caminho A\to M\to B, então
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{M B}.
Isto é só dizer que o vetor total do início ao fim é a soma dos “trechos” intermediários.
  • Relação entre \overrightarrow{AM} e \overrightarrow{MA}: são opostos,
\overrightarrow{M A}=-\overrightarrow{A M}.
Isto é porque um vai de A a M e o outro de M a A.

Passo 3

Agora use a propriedade específica do ponto médio. Se M é o ponto médio de AB, então os dois subsegmentos AM e MB têm mesma direção e mesmo comprimento, apontando ambos de A para B (isto é, M está entre A e B e divide o segmento igualmente). Em termos vetoriais isso dá
\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{M B}.
Aplicando a regra do polígono \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{M B} e substituindo \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{A M}, obtemos
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A M}=2\,\overrightarrow{A M}.
Daí isolamos \overrightarrow{A M}:
\overrightarrow{A M}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{A B}.
E, consequentemente,
\overrightarrow{M B}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{A B}.
Também, usando \overrightarrow{M A}=-\overrightarrow{A M},
\overrightarrow{M A}=-\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{A B}.

Passo 4

Com as relações acima vamos testar cada alternativa calculando o lado esquerdo em termos de \overrightarrow{A B}.
Teste da alternativa (a): calcular \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}. Substituindo os valores:
\overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B} =-\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{A B}-\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{A B} =-\overrightarrow{A B}.
Como -\overrightarrow{A B} em geral não é o vetor nulo (exceto no caso degenerado A=B, que não é o caso habitual), a igualdade da alternativa (a) não é verdadeira.

Passo 5

Teste da alternativa (b): calcular \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}. Substituindo:
\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B} =-\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{A B}+\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{A B} =\overrightarrow{0}.
Então essa igualdade é verdadeira para qualquer segmento AB com M ponto médio — os dois vetores são opostos e somam zero.

Passo 6

Teste das alternativas (c) e (d) para confirmar que são falsas.
(c) \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{M A}. Usando \overrightarrow{M A}=-\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{A B}, a igualdade seria
\overrightarrow{A B}=-\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{A B},
o que só ocorreria se \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{0} (caso degenerado A=B). Logo, em geral (c) é falsa.
(d) \overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{0}. Substituindo \overrightarrow{A M}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{A B},
\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A B}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A B}=\tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{A B}\neq\overrightarrow{0}
(em geral), então (d) também é falsa.

Resposta

b)

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