Qual é o vetor resultante da operação de subtração \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C B} ?

Passo 1

O enunciado pede: calcular o vetor resultante da operação \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}.
Informações dadas (literalmente): os vetores envolvidos são \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CB}, e a operação é a subtração entre eles.

Passo 2

Lembrete teórico importante e bem simples: subtrair um vetor é o mesmo que somar o seu oposto. Ou seja, para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v} vale
\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v}).
Aqui -\vec{v} é o vetor com mesma direção e comprimento de \vec{v} mas sentido contrário.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso:
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{CB}).
Agora observe que trocar o sentido de \overrightarrow{CB} \overrightarrow{BC}. Em fórmulas:
-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}.

Passo 4

Substituindo na expressão:
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.
Geometricamente, somar \overrightarrow{AB} com \overrightarrow{BC} corresponde a ir de A até B e depois de B até C; o deslocamento total vai de A até C. Portanto, pela regra do polígono (ou regra do triângulo) da soma de vetores,
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

Passo 5

Mostração algébrica alternativa (útil para prova): se representar os pontos A,B,C por vetores posição \vec{a},\vec{b},\vec{c} medidos a partir de uma origem comum, então
\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a},\qquad \overrightarrow{CB}=\vec{b}-\vec{c}.
Fazendo a subtração:
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=(\vec{b}-\vec{a})-(\vec{b}-\vec{c})=\vec{b}-\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=\vec{c}-\vec{a}.
E \vec{c}-\vec{a} é exatamente \overrightarrow{AC}. Resultado consistente com a geometria.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (faça na prova se tiver dúvida): suponha A(1,2), B(4,3), C(2,5). Então
\overrightarrow{AB}=(4-1,\,3-2)=(3,1), \qquad \overrightarrow{CB}=(4-2,\,3-5)=(2,-2).
Logo
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=(3,1)-(2,-2)=(1,3).
E \overrightarrow{AC}=(2-1,\,5-2)=(1,3). Bate certinho com a conclusão anterior.

Passo 7

Resumo prático que você pode decorar para a prova: sempre que vir algo do tipo \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}, troque o sinal do segundo vetor e some; isso dá \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}. Confia: é só aplicar a definição de oposto e a regra do polígono.

Resposta

\overrightarrow{AC}

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