Seja
um corpo. Sejam
e
um conjunto enumerável. Prove que o conjunto
é enumerável.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um corpo
, um elemento
e um subconjunto
que é enumerável. Queremos mostrar que
é também enumerável. O conteúdo usado aqui é teoria de cardinalidade de conjuntos e o fato de que uma bijeção preserva enumeração.
Passo 2
Definimos a função
Mostraremos que
é bijetora, o que provará que
tem a mesma cardinalidade de
.
Passo 3
Prova da injetividade de
: suponha que
. Então
Como
é um corpo, podemos cancelar
em ambos os lados, obtendo
. Logo
é injetiva.
Passo 4
Prova da sobrejetividade de
: seja
. Pela definição de
, existe
tal que
. Mas então
. Assim, todo elemento de
tem pré-imagem em
, e
é sobrejetiva.
Passo 5
Conclusão:
é bijeção de
em
. Como
é enumerável, qualquer conjunto bijetivo a
também é enumerável. Portanto,
é enumerável.
Resposta
O conjunto
é enumerável.