Seja \mathbb{K} um corpo. Sejam a \in \mathbb{K} e B \subset \mathbb{K} um conjunto enumerável. Prove que o conjunto
A=\{a+b \mid b \in \mathbb{K}\}
é enumerável.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um corpo \mathbb{K}, um elemento a\in\mathbb{K} e um subconjunto B\subset\mathbb{K} que é enumerável. Queremos mostrar que
A=\{\,a+b\mid b\in B\}
é também enumerável. O conteúdo usado aqui é teoria de cardinalidade de conjuntos e o fato de que uma bijeção preserva enumeração.

Passo 2

Definimos a função
f\colon B \to A,\quad f(b)=a+b.
Mostraremos que f é bijetora, o que provará que A tem a mesma cardinalidade de B.

Passo 3

Prova da injetividade de f: suponha que f(b_1)=f(b_2). Então
a + b_1 = a + b_2.
Como \mathbb{K} é um corpo, podemos cancelar a em ambos os lados, obtendo b_1=b_2. Logo f é injetiva.

Passo 4

Prova da sobrejetividade de f: seja x\in A. Pela definição de A, existe b\in B tal que x=a+b. Mas então x=f(b). Assim, todo elemento de A tem pré-imagem em B, e f é sobrejetiva.

Passo 5

Conclusão: f é bijeção de B em A. Como B é enumerável, qualquer conjunto bijetivo a B também é enumerável. Portanto, A é enumerável.

Resposta

O conjunto A é enumerável.

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