Mostre que um conjunto A é infinito se, e somente se, existir uma função injetiva \varphi: A \longrightarrow A que não é sobrejetiva.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre “ A é infinito” e “existe \varphi\colon A\to A injetiva que não é sobrejetiva”. Vamos usar a definição de conjunto finito: A é finito se existe bijeção entre A e \{1,2,\dots,n\} para algum n\in\mathbb{N}; em caso contrário, A é infinito. Também usamos que, em conjuntos finitos, toda função injetiva é sobrejetiva.

Passo 2

Prova de “se existe \varphi injetiva não sobrejetiva então A é infinito”.
Suponha, por absurdo, que A seja finito e exista \varphi\colon A\to A injetiva. Num conjunto finito, toda injeção é bijeção, logo \varphi seria também sobrejetiva, contradizendo a hipótese de que \varphi não é sobrejetiva. Portanto, se existe \varphi injetiva não sobrejetiva, não pode ser A finito, isto é, A é infinito.

Passo 3

Prova de “se A\) é infinito então existe \(\varphi\colon A\to A\) injetiva não sobrejetiva”. Como \(A\) é infinito, podemos escolher uma sequência \(\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset A\) de elementos todos distintos. Defina \[\varphi(x)= \begin{cases} a_{n+1},&\text{se }x=a_n\text{ para algum }n\in\mathbb{N},\\\ x,&\text{se }x\notin\{a_n\mid n\in\mathbb{N}\}. \end{cases}
  • Injetividade: se \varphi(x)=\varphi(y)\], há duas possibilidades: ou ambos são da forma \(a_{n+1} para algum n, forçando x=y, ou ambos estão fora do conjunto \{a_n\}, caso em que \varphi age como identidade e também dá x=y. Casos mistos não ocorrem porque a imagem de cada a_n é um a_{n+1}\neq a_m para todo m.
  • Não sobrejetividade: o elemento a_0 não é imagem de ninguém, pois se \varphi(x)=a_0 então teríamos x=a_{-1}, o que não faz sentido.
Assim, \varphi é injetiva e não atinge a_0, logo não é sobrejetiva.

Passo 4

Juntando as duas direções, mostramos que A não ser finito (isto é, ser infinito) equivale a existir \varphi\colon A\to A injetiva mas não sobrejetiva.

Resposta

Mostramos que A é infinito se, e somente se, existe uma função \varphi\colon A\to A que é injetiva e não é sobrejetiva.

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