Seja V=\mathbb{R}^{4} e W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4}: x+y-2 z+w=0\right. e \left.2 x-y-z-w=0\right\}. Encontre a projeção P: V \rightarrow V de V sobre W. Encontre a reflexão em torno de W.

Passo 1

O enunciado dá o espaço V=\mathbb{R}^{4} e o subespaço
W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 : x+y-2z+w=0\\ \text{e}\\\ 2x-y-z-w=0\}.
Notei que o enunciado escreveu a quarta coordenada como w dentro das equações e como t no vetor; vou interpretar que w é justamente a quarta coordenada t.\n
O que é pedido:
  1. Encontrar a projeção ortogonal P:V\to V de V sobre W (ou seja, para qualquer vetor v dar P(v) ou a matriz de P).\n
  2. Encontrar a reflexão ortogonal em torno de W (ou seja, a transformação linear que reflete vetores em relação a W).\n
    Informações relevantes fornecidas:
  • As duas equações do subespaço equivalem a dizer que W é o subespaço de vetores ortogonais aos vetores normais
n_1=(1,1,-2,1),\qquad n_2=(2,-1,-1,-1),
ou seja W=(\operatorname{span}\{n_1,n_2\})^\perp.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma intuitiva): \n
Um vetor v\in\mathbb{R}^4 pode ser escrito de forma ortogonal como
v = w + u,
onde w\in W e u\in W^\perp=\operatorname{span}\{n_1,n_2\}. A projeção ortogonal sobre W é P(v)=w. É mais fácil calcular primeiro a projeção de v sobre U:=\operatorname{span}\{n_1,n_2\} (que chamarei P_U(v)) e então usar
P(v)=v-P_U(v),
porque as equações dadas nos deram diretamente os dois vetores normais. Vou usar a fórmula padrão de projeção sobre o espaço coluna de uma matriz: se B tem como colunas uma base de U, então
P_U = B (B^{T}B)^{-1} B^{T},
ou seja, para qualquer vetor v as coordenadas dos componentes na base das colunas são (B^{T}B)^{-1}B^{T}v.

Passo 3

Construindo B e calculando B^{T}B.\n
Tomo B como a matriz 4\times 2 cujas colunas são n_1 e n_2:
B=\begin{pmatrix} 1 & 2\\[2pt] 1 & -1\\[2pt] -2 & -1\\[2pt] 1 & -1 \end{pmatrix}.
Calculo agora B^{T}B usando produto interno entre colunas (ou seja, produtos escalares):
B^{T}B=\begin{pmatrix} \langle n_1,n_1\rangle & \langle n_1,n_2\rangle\\[4pt] \langle n_2,n_1\rangle & \langle n_2,n_2\rangle \end{pmatrix}.
Compute:
\langle n_1,n_1\rangle = 1^2+1^2+(-2)^2+1^2 = 7,
\langle n_1,n_2\rangle = 1\cdot2 + 1\cdot(-1) + (-2)\cdot(-1) + 1\cdot(-1) = 2,
\langle n_2,n_2\rangle = 2^2+(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2 = 7.
Logo
B^{T}B=\begin{pmatrix}7 & 2\\[2pt]2 & 7\end{pmatrix}.]

Passo 4

Invertendo B^{T}B (fórmula 2×2) e obtendo as coordenadas das projeções.\n
Determinante \det(B^{T}B)=7\cdot7-2\cdot2=49-4=45. Assim
(B^{T}B)^{-1}=\frac{1}{45}\begin{pmatrix}7 & -2\\[2pt]-2 & 7\end{pmatrix}.
Para um vetor genérico v=(x,y,z,t) defino os produtos escalares
\alpha=\langle n_1,v\rangle = x+y-2z+t,
\beta=\langle n_2,v\rangle = 2x-y-z-t.
As coordenadas c=(c_1,c_2)^{T} do componente de v em U são
c = (B^{T}B)^{-1} B^{T} v = (B^{T}B)^{-1}\begin{pmatrix}\alpha\\[2pt]\beta\end{pmatrix} = \frac{1}{45}\begin{pmatrix}7 & -2\\[2pt]-2 & 7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\[2pt]\beta\end{pmatrix}.
Portanto
c_1=\frac{1}{45}(7\alpha-2\beta),\qquad c_2=\frac{1}{45}(-2\alpha+7\beta).]

Passo 5

Escrevendo a projeção sobre U e deduzindo P.\n
A projeção de v sobre U é
P_U(v) = c_1 n_1 + c_2 n_2.
Vou calcular componente a componente e depois P(v)=v-P_U(v). Para facilitar, calculei combinações lineares que surgem frequentemente:
c_1+2c_2 = \frac{1}{45}\bigl(7\alpha-2\beta +2(-2\alpha+7\beta)\bigr) = \frac{1}{45}(3\alpha+12\beta)=\frac{1}{15}(\alpha+4\beta),
c_1-c_2 = \frac{1}{45}\bigl(7\alpha-2\beta -(-2\alpha+7\beta)\bigr) = \frac{1}{45}(9\alpha-9\beta)=\frac{1}{5}(\alpha-\beta),
2c_1+c_2 = \frac{1}{45}\bigl(14\alpha-4\beta +(-2\alpha+7\beta)\bigr) = \frac{1}{45}(12\alpha+3\beta)=\frac{1}{15}(4\alpha+\beta).
Agora as componentes de P_U(v) (usando n_1=(1,1,-2,1) e n_2=(2,-1,-1,-1)) são:
P_U(v)=\bigl(c_1+2c_2,\; c_1-c_2,\; -2c_1-c_2,\; c_1-c_2\bigr).
Então a projeção sobre W é P(v)=v-P_U(v), i.e.
\begin{aligned} x' &= x - (c_1+2c_2) = x - \tfrac{1}{15}(\alpha+4\beta),\\[4pt] y' &= y - (c_1-c_2) = y - \tfrac{1}{5}(\alpha-\beta),\\[4pt] z' &= z - (-2c_1-c_2) = z + \tfrac{1}{15}(4\alpha+\beta),\\[4pt] t' &= t - (c_1-c_2) = t - \tfrac{1}{5}(\alpha-\beta). \end{aligned}
Agora substituí \alpha e \beta e simplifiquei cada componente explicitamente (faço as contas para obter a matriz final):
  • Para x':
\alpha+4\beta = (x+y-2z+t)+4(2x-y-z-t)=9x-3y-6z-3t,
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x' = x - \tfrac{1}{15}(9x-3y-6z-3t) = \tfrac{2}{5}x+\tfrac{1}{5}y+\tfrac{2}{5}z+\tfrac{1}{5}t.
  • Para y' (notando \alpha-\beta=-x+2y-z+2t):
y' = y - \tfrac{1}{5}(-x+2y-z+2t)=\tfrac{1}{5}x+\tfrac{3}{5}y+\tfrac{1}{5}z-\tfrac{2}{5}t.
  • Para z' (notando 4\alpha+\beta=6x+3y-9z+3t):
z' = z + \tfrac{1}{15}(6x+3y-9z+3t)=\tfrac{2}{5}x+\tfrac{1}{5}y+\tfrac{2}{5}z+\tfrac{1}{5}t.
  • Para t' (mesma expressão que para y' em certas partes):
t' = t - \tfrac{1}{5}(-x+2y-z+2t)=\tfrac{1}{5}x-\tfrac{2}{5}y+\tfrac{1}{5}z+\tfrac{3}{5}t.
Reescrevendo em forma matricial P(v)=Pv, a matriz da projeção P na base padrão é
P=\begin{pmatrix} \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{5} \end{pmatrix}.
(Essa matriz é simétrica e idempotente: P^T=P e P^2=P, propriedades esperadas de uma projeção ortogonal.)]

Passo 6

Reflexão ortogonal em torno de W.\n
A reflexão ortogonal R em torno de W age como
R(v)=2P(v)-v.
Assim a matriz de reflexão é
R=2P-I =\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & \tfrac{4}{5} & \tfrac{2}{5}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{4}{5}\\[4pt] \tfrac{4}{5} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{4}{5} & \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix}.
Alternativamente, pode-se escrever a reflexão como R(v)=v-2P_U(v), onde P_U(v) é a projeção de v sobre \operatorname{span}\{n_1,n_2\} calculada nos passos anteriores.]

Resposta

P=\begin{pmatrix} \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{5} \end{pmatrix}
R=2P-I= \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & \tfrac{4}{5} & \tfrac{2}{5}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{4}{5}\\[4pt] \tfrac{4}{5} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{4}{5} & \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix}]

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