Seja V=\mathbb{R}^{4} e W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4}: x+y-2 z+w=0\right. e \left.2 x-y-z-w=0\right\}. Encontre a projeção P: V \rightarrow V de V sobre W. Encontre a reflexão em torno de W.
Passo 1
O enunciado dá o espaço V=\mathbb{R}^{4} e o subespaço
Notei que o enunciado escreveu a quarta coordenada como w dentro das equações e como t no vetor; vou interpretar que w é justamente a quarta coordenada t.\n
O que é pedido:
Encontrar a projeção ortogonal P:V\to V de V sobre W (ou seja, para qualquer vetor v dar P(v) ou a matriz de P).\n
Encontrar a reflexão ortogonal em torno de W (ou seja, a transformação linear que reflete vetores em relação a W).\n
Informações relevantes fornecidas:
As duas equações do subespaço equivalem a dizer que W é o subespaço de vetores ortogonais aos vetores normais
n_1=(1,1,-2,1),\qquad n_2=(2,-1,-1,-1),
ou seja W=(\operatorname{span}\{n_1,n_2\})^\perp.
Passo 2
Estratégia (explicada de forma intuitiva): \n
Um vetor v\in\mathbb{R}^4 pode ser escrito de forma ortogonal como
v = w + u,
onde w\in W e u\in W^\perp=\operatorname{span}\{n_1,n_2\}. A projeção ortogonal sobre W é P(v)=w. É mais fácil calcular primeiro a projeção de v sobre U:=\operatorname{span}\{n_1,n_2\} (que chamarei P_U(v)) e então usar
P(v)=v-P_U(v),
porque as equações dadas nos deram diretamente os dois vetores normais. Vou usar a fórmula padrão de projeção sobre o espaço coluna de uma matriz: se B tem como colunas uma base de U, então
P_U = B (B^{T}B)^{-1} B^{T},
ou seja, para qualquer vetor v as coordenadas dos componentes na base das colunas são (B^{T}B)^{-1}B^{T}v.
Passo 3
Construindo B e calculando B^{T}B.\n
Tomo B como a matriz 4\times 2 cujas colunas são n_1 e n_2:
\begin{aligned} x' &= x - (c_1+2c_2) = x - \tfrac{1}{15}(\alpha+4\beta),\\[4pt] y' &= y - (c_1-c_2) = y - \tfrac{1}{5}(\alpha-\beta),\\[4pt] z' &= z - (-2c_1-c_2) = z + \tfrac{1}{15}(4\alpha+\beta),\\[4pt] t' &= t - (c_1-c_2) = t - \tfrac{1}{5}(\alpha-\beta). \end{aligned}
Agora substituí \alpha e \beta e simplifiquei cada componente explicitamente (faço as contas para obter a matriz final):
Alternativamente, pode-se escrever a reflexão como R(v)=v-2P_U(v), onde P_U(v) é a projeção de v sobre \operatorname{span}\{n_1,n_2\} calculada nos passos anteriores.]