Descreva a projeção e a reflexão em um plano de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva (explique e dê fórmulas) a projeção ortogonal e a reflexão num plano em \mathbb{R}^{3}. Informações implícitas que vou usar e assumir: um plano em \mathbb{R}^{3} pode ser descrito por um vetor normal não nulo \mathbf{a}=(a,b,c) ou por um vetor normal unitário \mathbf{n} com \|\mathbf{n}\|=1; um vetor qualquer do espaço será denotado por \mathbf{v} (ou um ponto por \mathbf{p} quando for conveniente). O que eu preciso dar: fórmulas explícitas (componentes, operadores matriciais), derivação e exemplos numéricos. Não começo a resolver ainda, apenas deixei claro o pedido e os dados que vou usar.

Passo 2

Ideia chave (decomposição ortogonal): qualquer vetor \mathbf{v}\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como soma de uma componente paralela ao plano e uma componente perpendicular ao plano. Se \mathbf{n} é o vetor normal unitário ao plano, escrevemos
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{\parallel}+\mathbf{v}_{\perp},
onde \mathbf{v}_{\perp} é paralelo a \mathbf{n} e \mathbf{v}_{\parallel} é ortogonal a \mathbf{n}. Vou explicar como obter cada uma dessas componentes usando o produto escalar.

Passo 3

Como achar \mathbf{v}_{\perp} com produto escalar: o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} mede a projeção escalar de \mathbf{v} na direção de \mathbf{n}. Se \mathbf{n} é unitário, a componente vetorial de \mathbf{v} na direção de \mathbf{n} é
\mathbf{v}_{\perp}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,\mathbf{n}.
Explicação didática: \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} é um número (escalar) igual à magnitude de \mathbf{v} na direção de \mathbf{n} com sinal; multiplicando por \mathbf{n} (que tem comprimento 1) obtemos o vetor na direção de \mathbf{n} com essa magnitude. Logo, a componente paralela ao plano é a outra parte:
\mathbf{v}_{\parallel}=\mathbf{v}-\mathbf{v}_{\perp}=\mathbf{v}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,\mathbf{n}.

Passo 4

Fórmula da projeção ortogonal (resumo prático): a projeção ortogonal de \mathbf{v} no plano com normal unitário \mathbf{n} é
\text{proj}_{\text{plano}}(\mathbf{v})=\mathbf{v}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,\mathbf{n}.
Forma matricial (operador): se \mathbf{n} é coluna unitária, então a matriz de projeção ortogonal no plano é
P=I-\mathbf{n}\mathbf{n}^{T},
pois P\mathbf{v}=\mathbf{v}-(\mathbf{n}\mathbf{n}^{T})\mathbf{v}=\mathbf{v}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}. Propriedades importantes (que ajudam em provas/exames): P é simétrica ( P^{T}=P) e idempotente ( P^{2}=P). Isso significa geometricamente que aplicar a projeção duas vezes não muda o resultado.

Passo 5

Como tratar um vetor normal não unitário (prática comum em provas): se o plano é dado pela equação
ax+by+cz+d=0
então um vetor normal é \mathbf{a}=(a,b,c). A projeção de um ponto (ou vetor posição) \mathbf{p} sobre esse plano é obtida subtraindo da posição a distância assinada até o plano multiplicada pelo vetor normal unitário. Fazendo as contas e simplificando, obtemos a fórmula prática sem normalizar explicitamente:
\mathbf{p}_{\text{proj}}=\mathbf{p}-\frac{a x_{p}+b y_{p}+c z_{p}+d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}(a,b,c),
onde \mathbf{p}=(x_{p},y_{p},z_{p}). Explicação: o numerador é o valor de a x_{p}+b y_{p}+c z_{p}+d que mede (com sinal) a distância multiplicada por \|\mathbf{a}\|; o denominador normaliza por \|\mathbf{a}\|^{2}.

Passo 6

Derivação da reflexão (ideia): a reflexão em relação ao plano conserva a componente paralela ao plano e inverte a componente perpendicular. Usando a decomposição \mathbf{v}=\mathbf{v}_{\parallel}+\mathbf{v}_{\perp} com \mathbf{v}_{\perp}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}, a reflexão é
\text{refl}_{\text{plano}}(\mathbf{v})=\mathbf{v}_{\parallel}-\mathbf{v}_{\perp} =\bigl(\mathbf{v}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}\bigr)-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n} =\mathbf{v}-2(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}.
Matriz associada: com \mathbf{n} unitário,
R=I-2\mathbf{n}\mathbf{n}^{T},
pois R\mathbf{v}=\mathbf{v}-2(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}. Propriedades: R é ortogonal ( R^{T}R=I), simétrica ( R^{T}=R), satisfaz R^{2}=I (refletir duas vezes retorna o vetor original) e \det(R)=-1. Os autovalores são 1,1,-1 (dois modos inalterados no plano e um modo invertido na direção normal).

Passo 7

Prova rápida de que a projeção dá o ponto mais próximo (intuição útil na prova): queremos minimizar \|\mathbf{p}-\mathbf{q}\| onde \mathbf{q} varia no plano. Qualquer \mathbf{q} no plano pode ser escrita como \mathbf{q}=\mathbf{p}_{\text{proj}}+\mathbf{u} com \mathbf{u} paralelo ao plano. Então
\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\|^{2}=\|\mathbf{p}-\mathbf{p}_{\text{proj}}-\mathbf{u}\|^{2}=\|\mathbf{p}-\mathbf{p}_{\text{proj}}\|^{2}+\|\mathbf{u}\|^{2},
pois \mathbf{p}-\mathbf{p}_{\text{proj}} é ortogonal a \mathbf{u}. Isso mostra que a distância é mínima quando \mathbf{u}=\mathbf{0}, ou seja, em \mathbf{p}_{\text{proj}}. Conclusão: a projeção ortogonal é o ponto mais próximo no plano.

Passo 8

Exemplo numérico passo a passo (para fixar): plano \pi\colon x+y+z=0 (ou seja, \mathbf{a}=(1,1,1), d=0). Ponto \mathbf{p}=(1,2,3).
  1. Calculo escalar a x_{p}+b y_{p}+c z_{p}+d=1+2+3+0=6.
  2. Denominador a^{2}+b^{2}+c^{2}=1+1+1=3.
  3. Subtrair \dfrac{6}{3}(1,1,1)=2(1,1,1)=(2,2,2) de \mathbf{p}:
\mathbf{p}_{\text{proj}}=(1,2,3)-(2,2,2)=(-1,0,1).
  1. Reflexão: \mathbf{p}_{\text{refl}}=\mathbf{p}-2\cdot\frac{6}{\sqrt{3}\sqrt{3}}\frac{(1,1,1)}{3/\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} — isso é confuso escrito assim; usando a forma simples com normal não unitário já vimos antes, refletir é só inverter a componente perpendicular: como a componente perpendicular foi (2,2,2), a reflexão é
\mathbf{p}_{\text{refl}}=\mathbf{p}-2(2,2,2)=(1,2,3)-(4,4,4)=(-3,-2,-1).
Esse exemplo confirma as fórmulas de projeção e reflexão.

Passo 9

Receita prática rápida para uma prova (passo a passo que você pode decorar):
  1. Identifique o vetor normal \mathbf{a}=(a,b,c) do plano. Se possível normalize \mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}.
  2. Para projetar \mathbf{v} no plano use \mathbf{v}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}.
  3. Para refletir \mathbf{v} no plano use \mathbf{v}-2(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}.
  4. Se o plano estiver na forma ax+by+cz+d=0 e você tem um ponto \mathbf{p}, use
\mathbf{p}_{\text{proj}}=\mathbf{p}-\frac{a x_{p}+b y_{p}+c z_{p}+d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}(a,b,c)
para evitar normalizar explicitamente.

Resposta

Projeção ortogonal de \mathbf{v} num plano com normal unitário \mathbf{n}:
\text{proj}_{\text{plano}}(\mathbf{v})=\mathbf{v}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,\mathbf{n},
matriz de projeção P=I-\mathbf{n}\mathbf{n}^{T}.
Reflexão de \mathbf{v} em relação ao plano com normal unitário \mathbf{n}:
\text{refl}_{\text{plano}}(\mathbf{v})=\mathbf{v}-2(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,\mathbf{n},
matriz de reflexão R=I-2\mathbf{n}\mathbf{n}^{T}.
Projeção de um ponto \mathbf{p}=(x_{p},y_{p},z_{p}) sobre o plano ax+by+cz+d=0:
\mathbf{p}_{\text{proj}}=\mathbf{p}-\frac{a x_{p}+b y_{p}+c z_{p}+d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}(a,b,c).

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