Descreva a projeção e a reflexão em um plano de
.
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva (explique e dê fórmulas) a projeção ortogonal e a reflexão num plano em
. Informações implícitas que vou usar e assumir: um plano em
pode ser descrito por um vetor normal não nulo
ou por um vetor normal unitário
com
; um vetor qualquer do espaço será denotado por
(ou um ponto por
quando for conveniente). O que eu preciso dar: fórmulas explícitas (componentes, operadores matriciais), derivação e exemplos numéricos. Não começo a resolver ainda, apenas deixei claro o pedido e os dados que vou usar.
Passo 2
Ideia chave (decomposição ortogonal): qualquer vetor
pode ser escrito como soma de uma componente paralela ao plano e uma componente perpendicular ao plano. Se
é o vetor normal unitário ao plano, escrevemos
onde
é paralelo a
e
é ortogonal a
. Vou explicar como obter cada uma dessas componentes usando o produto escalar.
Passo 3
Como achar
com produto escalar: o produto escalar
mede a projeção escalar de
na direção de
. Se
é unitário, a componente vetorial de
na direção de
é
Explicação didática:
é um número (escalar) igual à magnitude de
na direção de
com sinal; multiplicando por
(que tem comprimento 1) obtemos o vetor na direção de
com essa magnitude. Logo, a componente paralela ao plano é a outra parte:
Passo 4
Fórmula da projeção ortogonal (resumo prático): a projeção ortogonal de
no plano com normal unitário
é
Forma matricial (operador): se
é coluna unitária, então a matriz de projeção ortogonal no plano é
pois
. Propriedades importantes (que ajudam em provas/exames):
é simétrica (
) e idempotente (
). Isso significa geometricamente que aplicar a projeção duas vezes não muda o resultado.
Passo 5
Como tratar um vetor normal não unitário (prática comum em provas): se o plano é dado pela equação
então um vetor normal é
. A projeção de um ponto (ou vetor posição)
sobre esse plano é obtida subtraindo da posição a distância assinada até o plano multiplicada pelo vetor normal unitário. Fazendo as contas e simplificando, obtemos a fórmula prática sem normalizar explicitamente:
onde
. Explicação: o numerador é o valor de
que mede (com sinal) a distância multiplicada por
; o denominador normaliza por
.
Passo 6
Derivação da reflexão (ideia): a reflexão em relação ao plano conserva a componente paralela ao plano e inverte a componente perpendicular. Usando a decomposição
com
, a reflexão é
Matriz associada: com
unitário,
pois
. Propriedades:
é ortogonal (
), simétrica (
), satisfaz
(refletir duas vezes retorna o vetor original) e
. Os autovalores são
(dois modos inalterados no plano e um modo invertido na direção normal).
Passo 7
Prova rápida de que a projeção dá o ponto mais próximo (intuição útil na prova): queremos minimizar
onde
varia no plano. Qualquer
no plano pode ser escrita como
com
paralelo ao plano. Então
pois
é ortogonal a
. Isso mostra que a distância é mínima quando
, ou seja, em
. Conclusão: a projeção ortogonal é o ponto mais próximo no plano.
Passo 8
Exemplo numérico passo a passo (para fixar): plano
(ou seja,
,
). Ponto
.
- Calculo escalar
. - Denominador
. - Subtrair
de :
- Reflexão:
— isso é confuso escrito assim; usando a forma simples com normal não unitário já vimos antes, refletir é só inverter a componente perpendicular: como a componente perpendicular foi , a reflexão é
Esse exemplo confirma as fórmulas de projeção e reflexão.
Passo 9
Receita prática rápida para uma prova (passo a passo que você pode decorar):
- Identifique o vetor normal
do plano. Se possível normalize . - Para projetar
no plano use . - Para refletir
no plano use . - Se o plano estiver na forma
e você tem um ponto , use
para evitar normalizar explicitamente.
Resposta
Projeção ortogonal de
num plano com normal unitário
:
matriz de projeção
.
Reflexão de
em relação ao plano com normal unitário
:
matriz de reflexão
.
Projeção de um ponto
sobre o plano
: