Seja V=M_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno usual. Considere W=\left\{\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right): x+y-z=0\right\}. Determine uma base ortonormal de W e W^{\perp}.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Espaço vetorial: V=M_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno usual (produto escalar obtido somando o produto das entradas correspondentes).
Subespaço: W=\left\{\begin{pmatrix}x & y \\\ z & w\end{pmatrix}: x+y-z=0\right\}.
O enunciado pede:
Determinar uma base ortonormal de W.
Determinar uma base ortonormal de W^{\perp}.
Informações úteis dadas (explicitadas):
A condição x+y-z=0 relaciona as coordenadas das matrizes de W.
V tem dimensão 4; a condição linear imposta por W reduz a dimensão de W (vamos ver quantas dimensões concretamente).
Passo 2
Produto interno e fórmulas que vamos usar (aulas curtinhas antes de mexer nas contas).
Produto interno em V=M_{2}(\mathbb{R}): para A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}),
Esses três são ortonormais e pertencem a W, logo formam uma base ortonormal de W.
Passo 6
Encontrando W^{\perp} (solução direta).
Procuramos A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in W^{\perp} que satisfaça \langle A,M\rangle=0 para todo M\in W. É suficiente exigir isso para os geradores E_1,E_2,E_3:
\langle A,E_1\rangle = a + c = 0 \implies c=-a.
\langle A,E_2\rangle = b + c = 0 \implies b=-c = a.
\langle A,E_3\rangle = d = 0 \implies d=0.
Logo A = a\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix}. Assim W^{\perp} é a reta gerada por
F=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix}.
Norma de F:
\|F\|^{2}=1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}=3.
Portanto a única direção unitária em W^{\perp} (base ortonormal) é