Considere as matrizes:
B=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 2 \\\\ 2 & 1 & -3 \\\\ -1 & 0 & 4 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 3 & 3 \\\\ 3 & 0 & 5 \\\\ 6 & 9 & -1 \end{array}\right) \quad e \quad D=\left(\begin{array}{rrr} 4 & 4 & 4 \\\\ 5 & -1 & 0 \\\\ 7 & 8 & -1 \end{array}\right) .
Determinar uma matriz A, tal que as seguintes afirmações sejam verdadeiras:
2(A+C)=3\left(A+\frac{1}{2}(A+B)\right)+D.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes B, C e D e pede para determinar uma matriz A que satisfaça a equação
2(A+C)=3\left(A+\frac{1}{2}(A+B)\right)+D.
As matrizes fornecidas são
B=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -3\\[4pt] -1 & 0 & 4 \end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix} 3 & 3 & 3\\[4pt] 3 & 0 & 5\\[4pt] 6 & 9 & -1 \end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix} 4 & 4 & 4\\[4pt] 5 & -1 & 0\\[4pt] 7 & 8 & -1 \end{pmatrix}.
O que se quer: encontrar A (matriz 3\times3) que torne verdadeira a igualdade matricial acima.]

Passo 2

Vamos relembrar propriedades básicas que usaremos (coisa simples, prometo ser rápido):
  • Multiplicação de matriz por escalar é distribuída entrada a entrada: se k é escalar e M é matriz, então (kM)_{ij}=k(M_{ij}).
  • Soma/subtração de matrizes é entrada a entrada e é compatível com multiplicação por escalar.
  • Podemos manipular a equação matricial exatamente como uma equação escalar, desde que façamos operações válidas (somar, subtrair, multiplicar por escalar).
Agora expandimos e simplificamos a equação dada, tratanto A como incógnita matricial.

Passo 3

Expandir o lado direito:
3\left(A+\frac{1}{2}(A+B)\right) =3\left(A+\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B\right) =3\left(\frac{3}{2}A+\frac{1}{2}B\right) =\frac{9}{2}A+\frac{3}{2}B.
Portanto a equação original fica
2A+2C=\frac{9}{2}A+\frac{3}{2}B+D.
Agrupando os termos com A no mesmo lado:
2A-\frac{9}{2}A=\frac{3}{2}B+D-2C.
Calcule o coeficiente à esquerda:
2-\frac{9}{2}=\frac{4}{2}-\frac{9}{2}=-\frac{5}{2},
logo
-\frac{5}{2}A=\frac{3}{2}B+D-2C.
Multiplicando ambos os lados por -\dfrac{2}{5} (inverso de -\tfrac{5}{2}) obtemos
A=-\frac{2}{5}\left(\frac{3}{2}B+D-2C\right).
Agora só resta calcular a matriz do parêntese com as matrizes dadas e multiplicar por -\tfrac{2}{5}.

Passo 4

Calcular \dfrac{3}{2}B multiplicando cada entrada de B por \dfrac{3}{2}:
\frac{3}{2}B=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot 2 & \frac{3}{2}\cdot 2 & \frac{3}{2}\cdot 2\\[4pt] \frac{3}{2}\cdot 2 & \frac{3}{2}\cdot 1 & \frac{3}{2}\cdot(-3)\\[4pt] \frac{3}{2}\cdot(-1) & \frac{3}{2}\cdot 0 & \frac{3}{2}\cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3\\[4pt] 3 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{9}{2}\\[4pt] -\tfrac{3}{2} & 0 & 6 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular 2C multiplicando cada entrada de C por 2:
2C=\begin{pmatrix} 6 & 6 & 6\\[4pt] 6 & 0 & 10\\[4pt] 12 & 18 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora formamos \dfrac{3}{2}B+D-2C somando \dfrac{3}{2}B com D e subtraindo 2C, entrada a entrada. Vou mostrar cada entrada:
  • Primeira linha: (1,1):\;3+4-6=1,\qquad (1,2):\;3+4-6=1,\qquad (1,3):\;3+4-6=1.
  • Segunda linha: (2,1):\;3+5-6=2,\qquad (2,2):\;\tfrac{3}{2}+(-1)-0=\tfrac{1}{2},\qquad (2,3):\;-\tfrac{9}{2}+0-10=-\tfrac{29}{2}.
  • Terceira linha: (3,1):\;-\tfrac{3}{2}+7-12=-\tfrac{13}{2},\qquad (3,2):\;0+8-18=-10,\qquad (3,3):\;6+(-1)-(-2)=7.
Logo
\frac{3}{2}B+D-2C= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{29}{2}\\[4pt] -\tfrac{13}{2} & -10 & 7 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Finalmente multiplicamos essa matriz por -\dfrac{2}{5} para obter A. Fazendo a multiplicação entrada a entrada:
  • Primeira linha: -\tfrac{2}{5}\cdot 1=-\tfrac{2}{5},\quad -\tfrac{2}{5}\cdot 1=-\tfrac{2}{5},\quad -\tfrac{2}{5}\cdot 1=-\tfrac{2}{5}.
  • Segunda linha: -\tfrac{2}{5}\cdot 2=-\tfrac{4}{5},\quad -\tfrac{2}{5}\cdot \tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{5},\quad -\tfrac{2}{5}\cdot\left(-\tfrac{29}{2}\right)=\tfrac{29}{5}.
  • Terceira linha: -\tfrac{2}{5}\cdot\left(-\tfrac{13}{2}\right)=\tfrac{13}{5},\quad -\tfrac{2}{5}\cdot(-10)=4,\quad -\tfrac{2}{5}\cdot 7=-\tfrac{14}{5}.
Portanto
A=\begin{pmatrix} -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{2}{5}\\[6pt] -\tfrac{4}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{29}{5}\\[6pt] \tfrac{13}{5} & 4 & -\tfrac{14}{5} \end{pmatrix}.]

Resposta

A=\begin{pmatrix} -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{2}{5}\\[6pt] -\tfrac{4}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{29}{5}\\[6pt] \tfrac{13}{5} & 4 & -\tfrac{14}{5} \end{pmatrix}]

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