Seja A: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear dada por A(x, y)=(5 x+4 y,-3 x-2 y). Para quais valores de \lambda \in \mathbb{R} existem vetores não nulos u \in \mathbb{R}^{2} tais que A(u)=\lambda \cdot u ? Esses vetores u são únicos para cada \lambda fixado? Determine esses vetores. O que vocE \hat{E} pode concluir dos vetores “associados” a cada \lambda ?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os escalares \lambda\in\mathbb{R} tais que existe um vetor não-nulo u\in\mathbb{R}^2 satisfazendo
A(u)=\lambda\,u,
ou seja, os autovalores e os autovetores da transformação linear A(x,y)=(5x+4y,\,-3x-2y). Vamos representar A por sua matriz na base canônica, montar o polinômio característico, encontrar \lambda e depois resolver (A-\lambda I)u=0 para cada \lambda.
Passo 2
A matriz de A na base canônica é
M = \begin{pmatrix}5 & 4 \\\\ -3 & -2\end{pmatrix}.
e todos os autovetores de \lambda=2 são múltiplos de (-4,3).
Passo 6
Cada um desses conjuntos de autovetores forma uma linha em \mathbb{R}^2, ou seja, um subespaço unidimensional. Isso significa que os autovetores não são únicos: para cada \lambda fixo você pode multiplicar o vetor base por qualquer escalar \neq 0, mas a direção é única.
Passo 7
Como os autovalores 1 e 2 são distintos, os respectivos autovetores (-1,1) e (-4,3) são linearmente independentes. Portanto formam uma base de \mathbb{R}^2 e mostram que A é diagonalizável.
Resposta
\lambda=1 e \lambda=2.
Para \lambda=1, os autovetores são todos os múltiplos de \bigl(-1,1\bigr).
Para \lambda=2, os autovetores são todos os múltiplos de \bigl(-4,3\bigr).
Cada conjunto de autovetores é uma reta, ou seja, único até múltiplos escalares, e as direções correspondentes são linearmente independentes.