Qual a transformação linear S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} tal que S(1,1,1)=3, S(0,1,-2)=1 e S(0,0,1)=-2 ?

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} tal que S(1,1,1)=3, S(0,1,-2)=1 e S(0,0,1)=-2.
O conteúdo é forma linear: toda S assim pode ser escrita como
S(x,y,z)=a\,x+b\,y+c\,z
para certos escalares a,b,c.

Passo 2

Assumimos
S(x,y,z)=a\,x+b\,y+c\,z.
Isso vale porque qualquer transformação linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R} é uma forma linear definida por três coeficientes.

Passo 3

Da condição S(0,0,1)=-2 obtemos
c=-2.

Passo 4

Da condição S(0,1,-2)=1 segue
b-2c=1.
Substituindo c=-2 em b-2(-2)=b+4 temos
b+4=1 \quad\Rightarrow\quad b=-3.

Passo 5

Da condição S(1,1,1)=3 temos
a+b+c=3.
Substituindo b=-3 e c=-2 em a-3-2
a-5=3 \quad\Rightarrow\quad a=8.

Resposta

A transformação linear é
S(x,y,z)=8x-3y-2z.

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