Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=|x|. Mostre que f é derivável em \mathbb{R} \backslash\{0\}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=|x|
é derivável em todo ponto a\neq0. O conteúdo é a definição de derivada por limite
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
e a expressão de |x| em duas peças: uma para x>0 e outra para x<0.

Passo 2

Para usar isso, escrevemos
f(x)= \begin{cases} x, & x>0,\\\\ -\,x, & x<0. \end{cases}
Assim, em qualquer ponto a>0 existe um intervalo em que f(x)=x, e em qualquer ponto a<0 existe um intervalo em que f(x)=-x.

Passo 3

Seja a>0. Para todo x suficientemente próximo de a mantém-se f(x)=x e f(a)=a. Portanto
f'(a) =\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\lim_{x\to a}\frac{x-a}{x-a} =1.
Isso mostra que existe derivada em cada a>0.

Passo 4

Seja a<0. Para x perto de a temos f(x)=-x e f(a)=-a. Logo
f'(a) =\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\lim_{x\to a}\frac{-x-(-a)}{x-a} =\lim_{x\to a}\frac{-(x-a)}{x-a} =-1.
Isso mostra que existe derivada em cada a<0.

Resposta

Para todo x\neq0\) \[f'(x)= \begin{cases} 1, & x>0,\\\\ -1,& x<0, \end{cases}
logo f\] é derivável em \(\mathbb{R}\setminus\{0\}.

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