Seja
dada por
. Mostre que
é derivável em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é derivável em todo ponto
. O conteúdo é a definição de derivada por limite
e a expressão de
em duas peças: uma para
e outra para
.
Passo 2
Para usar isso, escrevemos
Assim, em qualquer ponto
existe um intervalo em que
, e em qualquer ponto
existe um intervalo em que
.
Passo 3
Seja
. Para todo
suficientemente próximo de
mantém-se
e
. Portanto
Isso mostra que existe derivada em cada
.
Passo 4
Seja
. Para
perto de
temos
e
. Logo
Isso mostra que existe derivada em cada
.
Resposta
Para todo
logo
.