Seja
tal que
. Verifique que
está bem-definida, é inversível e que sua inversa é contínua e estritamente crescente.
Passo 1
O enunciado define a função
onde
é inteiro positivo. Precisamos mostrar três coisas:
-
está bem-definida (isto é, todo leva a um valor em ). -
é inversível (bijetiva). - A inversa
é contínua e estritamente crescente.
Passo 2
Para ver que
está bem-definida, note que se
então
. Logo
portanto a imagem de cada
pertence de fato ao contradomínio.
Passo 3
Mostramos que
é injetiva e sobrejetiva.
Injetividade: se
, então, elevando números não-negativos a potência
, decorre
ou seja,
. Logo
é estritamente crescente em
e, portanto, injetiva.
Sobrejetividade: dado qualquer
, basta escolher
pois então
Assim, todo
tem um antecedente em
, logo
é sobrejetiva.
Passo 4
Como
é bijetiva, existe inversa
. Para
, ela satisfaz
Passo 5
Verificamos agora que
é contínua e estritamente crescente.
– Contínua: a função
é bem-conhecida como a raiz
-ésima em
e é contínua em todo o seu domínio.
– Estritamente crescente: se
, então tomando raízes não-negativas temos
portanto
.
Juntando tudo,
é contínua e estritamente crescente.
Resposta
A função
é bijetiva e sua inversa é
que é contínua e estritamente crescente em
.