Seja f:[0,+\infty) \rightarrow[0, \infty) tal que f(x)=x^{n}. Verifique que f está bem-definida, é inversível e que sua inversa é contínua e estritamente crescente.

Passo 1

O enunciado define a função
f:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\quad f(x)=x^n,
onde n é inteiro positivo. Precisamos mostrar três coisas:
  1. f está bem-definida (isto é, todo x\ge0 leva a um valor em [0,+\infty)).
  2. f é inversível (bijetiva).
  3. A inversa f^{-1} é contínua e estritamente crescente.

Passo 2

Para ver que f está bem-definida, note que se x\in[0,+\infty) então x^n\ge0. Logo
f(x)=x^n\in[0,+\infty),
portanto a imagem de cada x pertence de fato ao contradomínio.

Passo 3

Mostramos que f é injetiva e sobrejetiva.
Injetividade: se 0\le x_1<x_2, então, elevando números não-negativos a potência n>0, decorre
x_1^n < x_2^n,
ou seja, f(x_1)\ne f(x_2). Logo f é estritamente crescente em [0,+\infty) e, portanto, injetiva.
Sobrejetividade: dado qualquer y\in[0,+\infty), basta escolher
x = y^{1/n}\ge0,
pois então
f(x)=\bigl(y^{1/n}\bigr)^n = y.
Assim, todo y\ge0 tem um antecedente em [0,+\infty), logo f é sobrejetiva.

Passo 4

Como f é bijetiva, existe inversa f^{-1}:[0,+\infty)\to[0,+\infty). Para y\ge0, ela satisfaz
f^{-1}(y)=y^{1/n}.

Passo 5

Verificamos agora que f^{-1}(y)=y^{1/n} é contínua e estritamente crescente.
– Contínua: a função y\mapsto y^{1/n} é bem-conhecida como a raiz n-ésima em [0,+\infty) e é contínua em todo o seu domínio.
– Estritamente crescente: se 0\le y_1<y_2, então tomando raízes não-negativas temos
y_1^{1/n}<y_2^{1/n},
portanto f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2).
Juntando tudo, f^{-1} é contínua e estritamente crescente.

Resposta

A função f é bijetiva e sua inversa é
f^{-1}(y)=y^{1/n},
que é contínua e estritamente crescente em [0,+\infty).

Exercícios relacionados