Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz:
T(1,3)=(1,-1,-2) e T(-2,-5)=(0,1,3).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e fornece dois valores:
  • T(1,3)=(1,-1,-2).
  • T(-2,-5)=(0,1,3).
O que é pedido: determinar a entrada a_{21} da matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Aqui a_{21} é o elemento da segunda linha e primeira coluna da matriz A.

Passo 2

Vamos representar a matriz A em termos das imagens dos vetores canônicos. Seja
A=\begin{pmatrix} \;v_1 & v_2\; \end{pmatrix},
onde v_1=T(1,0)\in\mathbb{R}^3 é a primeira coluna e v_2=T(0,1)\in\mathbb{R}^3 é a segunda coluna. Então, por linearidade,
T(x,y)=x\,v_1+y\,v_2.
Isso significa que, para qualquer par (x,y), o resultado é uma combinação linear das colunas v_1 e v_2.

Passo 3

Usando os dados do enunciado, escrevemos equações para v_1 e v_2:
v_1+3v_2=T(1,3)=(1,-1,-2),
-2v_1-5v_2=T(-2,-5)=(0,1,3).
Essas são duas equações vetoriais em \mathbb{R}^3 que permitem resolver v_1 e v_2.

Passo 4

Resolvendo o sistema vetorial. Multiplico a primeira equação por 2 e somo com a segunda para eliminar v_1:
2(v_1+3v_2) + (-2v_1-5v_2) = 2(1,-1,-2) + (0,1,3).
No lado esquerdo surge apenas v_2. Calculando os lados:
v_2 = (2,-2,-4) + (0,1,3) = (2,-1,-1).

Passo 5

Agora encontramos v_1 substituindo v_2 na primeira equação:
v_1 = (1,-1,-2) - 3v_2 = (1,-1,-2) - 3(2,-1,-1).
Calculando componente a componente:
v_1=(1-6,\; -1+3,\; -2+3)=(-5,2,1).

Passo 6

Portanto a matriz A (colunas v_1 e v_2) é
A=\begin{pmatrix} -5 & 2\\[4pt] 2 & -1\\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix}.
A entrada a_{21} é a segunda linha, primeira coluna, que vale 2.]

Passo 7

Verificação rápida (opcional): calcular A\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} = v_1+3v_2 = (-5,2,1)+3(2,-1,-1)=(1,-1,-2) e
A\begin{pmatrix}-2\\\ -5\end{pmatrix}=-2v_1-5v_2=(0,1,3),
confirmando que as colunas estão corretas.

Resposta

(G) 2

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