Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,3)=(1,-1,-2) e T(-2,-5)=(0,1,3).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e fornece dois valores:
T(1,3)=(1,-1,-2).
T(-2,-5)=(0,1,3).
O que é pedido: determinar a entrada a_{21} da matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Aqui a_{21} é o elemento da segunda linha e primeira coluna da matriz A.
Passo 2
Vamos representar a matriz A em termos das imagens dos vetores canônicos. Seja
A=\begin{pmatrix} \;v_1 & v_2\; \end{pmatrix},
onde v_1=T(1,0)\in\mathbb{R}^3 é a primeira coluna e v_2=T(0,1)\in\mathbb{R}^3 é a segunda coluna. Então, por linearidade,
T(x,y)=x\,v_1+y\,v_2.
Isso significa que, para qualquer par (x,y), o resultado é uma combinação linear das colunas v_1 e v_2.
Passo 3
Usando os dados do enunciado, escrevemos equações para v_1 e v_2:
v_1+3v_2=T(1,3)=(1,-1,-2),
-2v_1-5v_2=T(-2,-5)=(0,1,3).
Essas são duas equações vetoriais em \mathbb{R}^3 que permitem resolver v_1 e v_2.
Passo 4
Resolvendo o sistema vetorial. Multiplico a primeira equação por 2 e somo com a segunda para eliminar v_1: