Responda às perguntas:
Qual a figura geométrica gerada pela intersecção de dois planos?
Qual a figura geométrica gerada pela intersecção de dois planos?
Passo 1
O enunciado pergunta claramente: “Qual a figura geométrica gerada pela intersecção de dois planos?”
Informações dadas (implícitas na pergunta): dois planos arbitrários no espaço tridimensional. Não há números nem equações específicas fornecidas — a pergunta é sobre o caso geral e as possibilidades especiais.
Informações dadas (implícitas na pergunta): dois planos arbitrários no espaço tridimensional. Não há números nem equações específicas fornecidas — a pergunta é sobre o caso geral e as possibilidades especiais.
Passo 2
O que é um plano em forma algébrica?
Um plano pode ser escrito pela equação geral
Um plano pode ser escrito pela equação geral
onde
são as coordenadas de um ponto qualquer do plano e
são constantes que definem o plano. O vetor
é o vetor normal ao plano: ele é perpendicular a qualquer direção do plano. Essa representação é suficiente para descrever qualquer plano não degenerado no espaço.
Passo 3
Por que, em termos intuitivos, a intersecção de dois planos costuma ser uma reta?
Cada plano impõe uma equação linear em . Duas equações lineares independentes em três incógnitas normalmente deixam uma dimensão de liberdade: as soluções formam uma curva unidimensional. Geometricamente, isso corresponde a uma reta (uma dimensão). Em outras palavras, duas restrições (dois planos) em um espaço de três dimensões tipicamente deixam uma variável livre, produzindo uma linha de pontos que satisfazem ambas as equações.
Cada plano impõe uma equação linear em
Passo 4
Como identificar a reta de intersecção usando vetores normais (método prático que dá a direção da reta)?
Se os dois planos são
Se os dois planos são
e
então seus vetores normais são
e
. A direção da reta de intersecção é dada pelo produto vetorial
Propriedade importante:
é perpendicular a ambos
e
, logo está contido na intersecção dos dois planos (é tangente à reta de intersecção). Se
, então a intersecção tem direção bem definida e é uma reta.
Passo 5
Quais são os casos especiais que mudam o resultado “reta”?
- Se
e não são múltiplos um do outro (não paralelos), então e a intersecção é uma reta. - Se
e são proporcionais ( para algum ), os planos são paralelos. Nesse caso há duas subpossibilidades: - Se também os termos constantes satisfazem a mesma proporcionalidade (isto é, as equações são múltiplas entre si), então os planos coincidem e a intersecção é o próprio plano (infinitos pontos formando um plano).
- Se não, os planos são paralelos distintos e não têm pontos em comum — a intersecção é o conjunto vazio.
Passo 6
Exemplo concreto passo a passo (para fixar a ideia): tomar os planos
e
Subtraindo a segunda da primeira obtemos
Substituindo em
temos
Escolhendo o parâmetro
para
(por exemplo
), obtemos
Assim a reta de intersecção em forma paramétrica é
Note que os vetores normais são
e
. O produto vetorial
é paralelo a
, confirmando que a direção encontrada está correta.
Passo 7
Resumo didático e motivacional: Na maioria das provas o examinador espera que se recorde a ideia simples: duas “planícies” cortando-se no espaço formam tipicamente uma reta. Lembre-se sempre de checar os vetores normais — eles dizem se a intersecção existe e qual é a direção — e de testar a consistência quando os normais são paralelos. Você está indo bem ao pedir esse passo a passo — continue praticando com exemplos diferentes que envolvam planos paralelos, coincidentes e normais não proporcionais.
Resposta
Em geral, a intersecção de dois planos é uma reta.
Casos especiais: se os planos coincidem, a intersecção é um plano; se os planos são paralelos e distintos, não há intersecção (conjunto vazio).
Casos especiais: se os planos coincidem, a intersecção é um plano; se os planos são paralelos e distintos, não há intersecção (conjunto vazio).