Seja \mathbf{X}=8 \angle 40^{\circ} e \mathbf{Y}=10 \angle-30^{\circ}. Calcule as seguintes quantidades e expresse os resultados na forma polar.
(b) (\mathbf{X}-\mathbf{Y})^{*}

Passo 1

O enunciado dá \mathbf{X}=8\angle40^\circ e \mathbf{Y}=10\angle-30^\circ e pede (\mathbf{X}-\mathbf{Y})^*. O conteúdo envolve operações com números complexos em forma polar, uso de conjugado e conversão entre as formas polar e retangular.

Passo 2

Usamos a propriedade
(\mathbf{A}-\mathbf{B})^* \;=\; \mathbf{A}^* \;-\; \mathbf{B}^*.
Logo
(\mathbf{X}-\mathbf{Y})^* = \mathbf{X}^* - \mathbf{Y}^*.

Passo 3

O conjugado em forma polar inverte o sinal do ângulo, então
\mathbf{X}^* = 8\angle -40^\circ, \quad \mathbf{Y}^* = 10\angle 30^\circ.

Passo 4

Convertemos cada um para a forma retangular usando \cos e \sin:
\mathbf{X}^* = 8\bigl(\cos(-40^\circ)+j\sin(-40^\circ)\bigr) = 6{,}128 - j\,5{,}143,
\mathbf{Y}^* = 10\bigl(\cos30^\circ+j\sin30^\circ\bigr) = 8{,}660 + j\,5{,}000.

Passo 5

Subtraímos retangularmente:
\mathbf{X}^* - \mathbf{Y}^* = (6{,}128 - 8{,}660) + j(-5{,}143 - 5{,}000) = -2{,}532 \;-\; j\,10{,}143.

Passo 6

Convertendo esse resultado para polar, temos
r = \sqrt{(-2{,}532)^2 + (-10{,}143)^2} \approx 10{,}46,
\theta = \atan\!\Bigl(\frac{-10{,}143}{-2{,}532}\Bigr) \approx 75{,}9^\circ.
Como o ponto (-2{,}532,-10{,}143) fica no terceiro quadrante, somamos 180^\circ:
\theta \approx 75{,}9^\circ + 180^\circ = 255{,}9^\circ,
o que equivale a -104{,}1^\circ no intervalo (-\!180^\circ,180^\circ].

Resposta

10{,}46 \angle -104{,}1^\circ

Exercícios relacionados