Seja \mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\operatorname{sen} t \mathbf{j}+\mathbf{k}. Determine
c) \lim _{t \rightarrow 0}\left[\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}^{\'}(t)\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada \mathbf{r}(t)=\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}+\mathbf{k}
e pede o limite \displaystyle \lim_{t\to0}\bigl[\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)\bigr].
O conteúdo aqui é derivada de vetor e produto escalar.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de \mathbf r(t). Como \mathbf{r}(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;1\bigr),
temos
\mathbf{r}'(t) =\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;0\bigr) =-\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}+0\;\mathbf{k}.

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t) =(\cos t)(-\sin t)+(\sin t)(\cos t)+(1)(0) =-\cos t\,\sin t+\sin t\,\cos t =0.

Passo 4

Observamos que \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=0 para todo t. Logo
\lim_{t\to0}\bigl[\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)\bigr]=0.

Resposta

0

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