Determine quais dos seguintes espaços vetoriais são isomorfos a \mathcal{S}, justificando sua resposta:
O espaço P_{5}(\mathbb{R}), formado pelos polinômios de grau no máximo 5 .
Passo 1
O enunciado dá duas informações claras e pede que eu decida se os espaços são isomorfos:
O espaço \mathcal{S} é o subespaço de M_{3}(\mathbb{R}) formado pelas matrizes simétricas, ou seja,
O outro espaço é P_{5}(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau no máximo 5.
O que preciso responder: determinar se P_{5}(\mathbb{R}) é isomorfo a \mathcal{S}, com justificativa.
Passo 2
Vou encontrar a dimensão de \mathcal{S}. Primeiro, pensar quantos graus de liberdade tem uma matriz simétrica 3\times3.
Uma matriz simétrica A=(a_{ij}) satisfaz a_{ij}=a_{ji}. Então os elementos independentes são:
as três entradas da diagonal: a_{11},a_{22},a_{33},
as três entradas acima da diagonal: a_{12},a_{13},a_{23} (porque as abaixo são iguais a estas).
Logo há 3+3=6 entradas independentes. Portanto a dimensão de \mathcal{S} é
\dim \mathcal{S}=6.
Para tornar isso bem concreto, mostro uma base explícita de \mathcal{S}. Defina as matrizes (cada uma é uma matriz 3\times3):
com coeficientes reais a_{0},\dots,a_{5}. O conjunto padrão \{1,x,x^{2},x^{3},x^{4},x^{5}\} é uma base, logo
\dim P_{5}(\mathbb{R})=6.
Passo 4
Estado e explico o princípio que vou usar: para espaços vetoriais de dimensão finita sobre o mesmo corpo (aqui \mathbb{R}), dois espaços são isomorfos se, e só se, tiverem a mesma dimensão. Raciocínio rápido por trás disso: dado uma base de um espaço e uma base do outro, existe exatamente uma aplicação linear que manda os vetores da primeira base nos vetores da segunda base; essa aplicação é bijetiva e linear, portanto é um isomorfismo. Assim, igualdade das dimensões finitas garante existência de um isomorfismo explícito (basta mandar bases em bases).
Passo 5
Aplicando o princípio: \dim\mathcal{S}=6 e \dim P_{5}(\mathbb{R})=6. Portanto existe um isomorfismo linear entre os dois espaços. Para ficar prático e para você conseguir reproduzir isso na prova, construo um isomorfismo explícito e mostro que ele é linear e bijetivo.
Defina \varphi:P_{5}(\mathbb{R})\to\mathcal{S} por
Comentário sobre a escolha: coloquei os coeficientes a_{0},\dots,a_{5} nas seis posições independentes de uma matriz simétrica 3\times3. Isso manda a base \{1,x,x^{2},x^{3},x^{4},x^{5}\} em \{E_{11},F_{12},F_{13},E_{22},F_{23},E_{33}\}, que é uma base de \mathcal{S}.
Verificações rápidas:
Linearidade: para polinômios p,q e escalares \alpha,\beta,
porque a definição usa apenas os coeficientes a_{k} colocados linearmente nas entradas da matriz.
Injetividade: suponha \varphi\bigl(\sum_{k=0}^5 a_k x^k\bigr)=0 (matriz nula). Então todas as entradas dessa matriz são zero, o que dá a_0=a_1=\cdots=a_5=0. Logo o polinômio é o polinômio nulo, então o núcleo é trivial e \varphi é injetora.
Como domínio e contradomínio têm a mesma dimensão finita e \varphi é injetora, ela é também sobrejetora. Alternativamente, para qualquer matriz simétrica dada pode-se ler as seis entradas independentes e construir o polinômio cujos coeficientes são essas entradas, mostrando diretamente a sobrejetividade.
Portanto \varphi é um isomorfismo linear explícito entre P_{5}(\mathbb{R}) e \mathcal{S}. A inversa \varphi^{-1}:\mathcal{S}\to P_{5}(\mathbb{R}) é simplesmente