Determine quais dos seguintes espaços vetoriais são isomorfos a \mathcal{S}, justificando sua resposta:
O espaço M_{3 \times 2}(\mathbb{R}), formado pelas matrizes 3 \times 2 com entradas reais.
Passo 1
O enunciado dá o subespaço \mathcal{S} das matrizes simétricas de ordem 3:
A pergunta que devemos responder é: o espaço M_{3\times2}(\mathbb{R}) (todas as matrizes 3\times2 com entradas reais) é isomorfo a \mathcal{S}?
Informações relevantes fornecidas: a descrição de \mathcal{S} (simétricas 3\times3) e o outro espaço M_{3\times2}(\mathbb{R}). Nada mais foi dado; precisamos decidir se existe um isomorfismo entre esses espaços e justificar.
Passo 2
O que significa “isomorfos” aqui (explicação didática): dois espaços vetoriais V e W sobre o mesmo corpo (aqui \mathbb{R}) são isomorfos se existe uma aplicação linear \varphi:V\to W que seja bijetiva (ou seja, linear, injetora e sobrejetora). Intuição prática: são “o mesmo” espaço vetorial, apenas com nomes diferentes para os vetores.
Um fato muito útil (teorema) que vou usar e explicar: se V e W são espaços vetoriais de dimensão finita sobre \mathbb{R}, então V e W são isomorfos se, e somente se, \dim(V)=\dim(W). Ou seja, para espaços finito-dimensionais basta comparar dimensões. Vou usar esse fato porque torna a prova curta e robusta; depois mostro um isomorfismo explícito para fixar a intuição.
Passo 3
Calcular \dim(\mathcal{S}) (passo por passo e didático): uma matriz simétrica 3\times3 tem a propriedade a_{ij}=a_{ji}. Então os graus de liberdade são os elementos da diagonal (3 entradas independentes: (1,1),(2,2),(3,3)) e os elementos acima da diagonal (que determinam, por simetria, os correspondentes abaixo da diagonal). O número de entradas acima da diagonal numa matriz 3\times3 é
\text{número acima da diagonal}=\frac{3\cdot(3-1)}{2}=3.
Portanto os graus de liberdade totais são 3 (diagonal) +\;3 (acima da diagonal) =6. Logo
\dim(\mathcal{S})=6.
Para fixar, um conjunto de base natural para \mathcal{S} é
onde E_{ij} é a matriz com 1 na posição (i,j) e 0 nas outras posições. Esse conjunto tem 6 elementos e são linearmente independentes e geradores de \mathcal{S}.
Passo 4
Calcular \dim(M_{3\times2}(\mathbb{R})): uma matriz 3\times2 tem 3\cdot2=6 entradas livres (cada entrada é um grau de liberdade). Portanto
\dim(M_{3\times2}(\mathbb{R}))=6.
Uma base padrão são as 6 matrizes F_{ij} com um único 1 numa das 6 posições e zeros nas outras.
Passo 5
Aplicando o teorema citado: como ambos os espaços são finito-dimensionais sobre \mathbb{R} e têm a mesma dimensão (ambos têm dimensão 6), concluímos que existe um isomorfismo linear entre eles. Isso já responde a pergunta de maneira elegante: sim, são isomorfos.
Mas para ficar absolutamente claro e para você conseguir construir esse isomorfismo na prova (e não só contar com a contagem de dimensões), vou apresentar um isomorfismo explícito e mostrar que é linear e bijetivo.
Passo 6
Construção explícita do isomorfismo (definição da aplicação): seja
Observações sobre essa definição: escolhi montar uma matriz simétrica com as seis entradas independentes (x_{11},x_{12},x_{21},x_{22},x_{31},x_{32}) distribuídas nas posições que formam uma matriz simétrica geral:
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] b & d & e\\[4pt] c & e & f \end{pmatrix}
onde a=x_{11}, b=x_{12}, c=x_{21}, d=x_{22}, e=x_{31}, f=x_{32}.]
Passo 7
Verificar linearidade de \varphi (explicação didática): linearidade significa \varphi(\alpha X+\beta Y)=\alpha\varphi(X)+\beta\varphi(Y) para escalares \alpha,\beta e matrizes X,Y. Como \varphi é definida entrada a entrada por combinações lineares das entradas de X, isso é imediato: cada entrada de \varphi(\alpha X+\beta Y) é uma combinação linear correspondente das entradas de X e Y, igual à combinação correspondente das entradas de \varphi(X) e \varphi(Y). Concretamente, por exemplo, a posição (1,3) de \varphi(\alpha X+\beta Y) vale \alpha x_{21}+\beta y_{21}, que é também a posição (1,3) de \alpha\varphi(X)+\beta\varphi(Y). Portanto \varphi é linear.
Passo 8
Verificar bijetividade dando a inversa (explicação passo a passo): tome uma matriz simétrica genérica
A=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] b & d & e\\[4pt] c & e & f \end{pmatrix}\in\mathcal{S}.
Defina \psi:\mathcal{S}\to M_{3\times2}(\mathbb{R}) por
\psi(A)=\begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d\\[4pt] e & f \end{pmatrix}.
Note que \psi simplesmente pega as seis entradas livres da matriz simétrica e as coloca na matriz 3\times2. É imediato verificar que \psi é linear (mesma razão da linearidade de \varphi) e que \psi(\varphi(X))=X para todo X e \varphi(\psi(A))=A para todo A. Essas igualdades mostram que \psi é a inversa de \varphi, logo \varphi é bijetiva. Assim \varphi é um isomorfismo linear.]
Passo 9
Resumo intuitivo e dica para a prova: a contagem de entradas é a maneira rápida: \dim(\mathcal{S})=6 e \dim(M_{3\times2}(\mathbb{R}))=6, portanto existe isomorfismo. Se o examinador pedir um isomorfismo explícito (ou se você quiser demonstrar concretamente), use a aplicação \varphi definida acima e explique que tem inversa \psi. Na prova, escreva a fórmula da aplicação, mostre que é linear e que tem inversa; isso é curto e convincente.
Resposta
Sim. M_{3\times2}(\mathbb{R}) é isomorfo a \mathcal{S} (ambos têm dimensão 6); um isomorfismo explícito é