Seja a matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\\\ 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & -2 & 1 \end{array}\right)
(a) Calcule os cofatores de todos os elementos de A. E escreva a matriz dos cofatores.
(b) Escreva a matriz adjunta de A.
(c) Determine a inversa da matriz A, caso exista.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\\\ 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}
e pede: (a) a matriz dos cofatores, (b) a matriz adjunta e (c) a inversa de A. Vamos usar a definição de menor M_{ij}, cofactor C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, a relação \det(A)=\sum_{j}a_{1j}C_{1j} e a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores.

Passo 2

Calculamos os menores e cofatores da primeira linha.
M_{11}=\det\begin{pmatrix}3 & 2\\\ -2 & 1\end{pmatrix}=3\cdot1-2\cdot(-2)=7, \quad C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=7.
M_{12}=\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-2\cdot0=1, \quad C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1.
M_{13}=\det\begin{pmatrix}1 & 3\\\ 0 & -2\end{pmatrix}=1\cdot(-2)-3\cdot0=-2, \quad C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=-2.

Passo 3

Usando a expansão pela primeira linha, obtemos o determinante:
\det(A)=2\cdot C_{11}+(-1)\cdot C_{12}+0\cdot C_{13} =2\cdot7+(-1)\cdot(-1)+0=14+1=15.
Como \det(A)=15\neq0, A é invertível.

Passo 4

Agora os menores e cofatores da segunda linha.
M_{21}=\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ -2 & 1\end{pmatrix} =-1\cdot1-0\cdot(-2)=-1, \quad C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=1.
M_{22}=\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =2\cdot1-0\cdot0=2, \quad C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=2.
M_{23}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 0 & -2\end{pmatrix} =2\cdot(-2)-(-1)\cdot0=-4, \quad C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=4.

Passo 5

E os menores e cofatores da terceira linha.
M_{31}=\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 3 & 2\end{pmatrix} =-1\cdot2-0\cdot3=-2, \quad C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=-2.
M_{32}=\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 1 & 2\end{pmatrix} =2\cdot2-0\cdot1=4, \quad C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-4.
M_{33}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} =2\cdot3-(-1)\cdot1=7, \quad C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=7.

Passo 6

Montamos a matriz de cofatores e, em seguida, a adjunta (transposta da matriz de cofatores):
\mathrm{Cof}(A)= \begin{pmatrix} 7 & -1 & -2\\\\ 1 & 2 & 4\\\\ -2 & -4 & 7 \end{pmatrix}, \quad \operatorname{adj}(A)=(\mathrm{Cof}(A))^T= \begin{pmatrix} 7 & 1 & -2\\\\ -1 & 2 & -4\\\\ -2 & 4 & 7 \end{pmatrix}.

Passo 7

Finalmente, a inversa de A é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) =\frac{1}{15} \begin{pmatrix} 7 & 1 & -2\\\\ -1 & 2 & -4\\\\ -2 & 4 & 7 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) \mathrm{Cof}(A)=\begin{pmatrix} 7 & -1 & -2\\\\ 1 & 2 & 4\\\\ -2 & -4 & 7 \end{pmatrix}.
(b) \operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} 7 & 1 & -2\\\\ -1 & 2 & -4\\\\ -2 & 4 & 7 \end{pmatrix}.
(c) \displaystyle A^{-1}=\frac{1}{15}\begin{pmatrix} 7 & 1 & -2\\\\ -1 & 2 & -4\\\\ -2 & 4 & 7 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados