Seja a matriz A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right). Determine A^{-1}, se existir.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}
e pede para determinar A^{-1}, se existir.
Informações importantes extraídas do enunciado:
a_{11}=1,\quad a_{12}=1,\quad a_{21}=0,\quad a_{22}=0.
A pergunta é única: existe A^{-1}? Se sim, qual é; se não, justificar por que não existe.]

Passo 2

Definição e ferramenta prática que usaremos: uma matriz quadrada M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} de ordem 2 é inversível se, e somente se, seu determinante \det(M)=ad-bc for diferente de zero. Além disso, quando \det(M)\neq0 a fórmula fechada para a inversa é
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
O que isso significa (explicando passo a passo): \det(M) é um número (um escalar) calculado a partir dos elementos de M. Se \det(M)=0, as linhas (ou colunas) de M são linearmente dependentes e não existe matriz N tal que MN=NM=I. Se \det(M)\neq0, podemos aplicar a fórmula acima para obter M^{-1}. Aqui a,b,c,d são exatamente os elementos da matriz M posicionados como na escrita.]

Passo 3

Aplicando a fórmula do determinante à nossa matriz A, identificamos a=1, b=1, c=0, d=0. Então
\det(A)=a d - b c = 1\cdot 0 - 1\cdot 0 = 0.
Mostramos a conta detalhada: multiplica-se o elemento a_{11}=1 por a_{22}=0, obtendo 0; multiplica-se a_{12}=1 por a_{21}=0, também obtendo 0; subtrai-se: 0-0=0.

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior: como \det(A)=0, a condição necessária para usar a fórmula da inversa falha — portanto não é possível obter A^{-1} pela fórmula 1/\det(A)\,\cdot matriz adjunta (porque implicaria divisão por zero). Isso já indica que A não é invertível.

Passo 5

Demonstração alternativa e direta, muito útil na prova (sem usar cálculo do determinante): suponha, por contradição, que exista B=\begin{pmatrix}p & q\\[4pt] r & s\end{pmatrix} tal que AB=I. Calculemos AB:
AB=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p & q\\[4pt] r & s\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}p+r & q+s\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Se B fosse a inversa, teríamos AB=I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}. Comparando entradas da segunda linha de AB com as da segunda linha de I, obtemos 0=0 (primeira coluna) e 0=1 (segunda coluna), e a segunda igualdade é absurda. Logo chega-se a uma contradição, o que prova que não existe tal B.]

Passo 6

Observação geométrica/intuitiva rápida: as duas colunas de A são idênticas (ambas são \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}), logo as colunas são linearmente dependentes e a matriz tem posto 1 (menor que 2), implicando não invertibilidade. Esta é uma verificação simples e rápida em provas.]

Resposta

\,A^{-1} não existe.

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