- Seja
uma matriz de ordem 4 tal que
e
. Então:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de ordem
tal que
e
A pergunta é: qual das alternativas (a) a (e) corresponde ao valor de
. Vou listar claramente as informações úteis:
-
é . -
(logo é invertível). - A equação matricial dada é
.
O objetivo final é encontrarentre as opções.
Passo 2
Fatorando a expressão dada, escreve-se
Explicação didática: multiplicação e soma de matrizes obedecem as mesmas regras algébricas formais que polinômios quando a potência e a soma são bem definidas; por isso é válido fatorar
como
. Aqui
é a matriz identidade
.
Passo 3
Usar a hipótese
. Quando
, a matriz
é invertível, isto é, existe
tal que
. Consequentemente,
também é invertível e existe
.
Agora multiplica-se a igualdade
à esquerda por
. Isso é permitido porque
existe e multiplicar ambos os lados de uma igualdade matricial por uma matriz fixa preserva a igualdade:
Como
e
, obtemos
Comentário didático: é importante perceber que multiplicamos à esquerda por
; como
é a inversa de
, isso anula o fator
e deixa apenas
. Para matrizes invertíveis, esquerda e direita funcionam porque inversa é única e
.
Passo 4
Da igualdade
segue imediatamente
Ou seja:
é a matriz escalar
vezes a identidade
.
Didática extra: matrizes da forma
(onde
é escalar) são muito simples — têm todos os autovalores iguais a
e são diagonais com
na diagonal principal.
Passo 5
Calcular o determinante de
. Para uma matriz identidade de ordem
vale
. Para uma matriz escalar
vale a propriedade
Justificativa curta: multiplicar uma matriz
por um escalar
é o mesmo que multiplicar cada uma das
linhas por
; cada multiplicação de linha multiplica o determinante por
, logo o determinante total ganha um fator
.
Aplicando isso ao caso
(aqui
e
):
Resposta
d)