1. Seja Q uma matriz de ordem 4 tal que \operatorname{det}(Q) \neq 0 e Q^{3}+2 Q^{2}=\mathbf{0}_{4}. Então:
    a) \operatorname{det}(Q)=2;
    b) \operatorname{det}(Q)=-2;
    c) \operatorname{det}(Q)=-16;
    d) \operatorname{det}(Q)=16;
    e) \operatorname{det}(Q)=0.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz Q de ordem 4 tal que \det(Q)\neq0 e
Q^{3}+2Q^{2}=\mathbf{0}_{4}.
A pergunta é: qual das alternativas (a) a (e) corresponde ao valor de \det(Q). Vou listar claramente as informações úteis:
  • Q é 4\times4.
  • \det(Q)\neq0 (logo Q é invertível).
  • A equação matricial dada é Q^{3}+2Q^{2}=\mathbf{0}_{4}.
    O objetivo final é encontrar \det(Q) entre as opções.

Passo 2

Fatorando a expressão dada, escreve-se
Q^{3}+2Q^{2}=Q^{2}(Q+2I_{4})=\mathbf{0}_{4}.
Explicação didática: multiplicação e soma de matrizes obedecem as mesmas regras algébricas formais que polinômios quando a potência e a soma são bem definidas; por isso é válido fatorar Q^{3}+2Q^{2} como Q^{2}(Q+2I_{4}). Aqui I_{4} é a matriz identidade 4\times4.

Passo 3

Usar a hipótese \det(Q)\neq0. Quando \det(Q)\neq0, a matriz Q é invertível, isto é, existe Q^{-1} tal que Q^{-1}Q=QQ^{-1}=I_{4}. Consequentemente, Q^{2} também é invertível e existe Q^{-2}=(Q^{-1})^{2}.
Agora multiplica-se a igualdade Q^{2}(Q+2I_{4})=\mathbf{0}_{4} à esquerda por Q^{-2}. Isso é permitido porque Q^{-2} existe e multiplicar ambos os lados de uma igualdade matricial por uma matriz fixa preserva a igualdade:
Q^{-2}\,Q^{2}(Q+2I_{4})=Q^{-2}\mathbf{0}_{4}.
Como Q^{-2}Q^{2}=I_{4} e Q^{-2}\mathbf{0}_{4}=\mathbf{0}_{4}, obtemos
Q+2I_{4}=\mathbf{0}_{4}.
Comentário didático: é importante perceber que multiplicamos à esquerda por Q^{-2}; como Q^{-2} é a inversa de Q^{2}, isso anula o fator Q^{2} e deixa apenas Q+2I_{4}. Para matrizes invertíveis, esquerda e direita funcionam porque inversa é única e Q^{-2}Q^{2}=Q^{2}Q^{-2}=I_{4}.

Passo 4

Da igualdade Q+2I_{4}=\mathbf{0}_{4} segue imediatamente
Q=-2I_{4}.
Ou seja: Q é a matriz escalar -2 vezes a identidade 4\times4.
Didática extra: matrizes da forma cI_{n} (onde c é escalar) são muito simples — têm todos os autovalores iguais a c e são diagonais com c na diagonal principal.

Passo 5

Calcular o determinante de Q. Para uma matriz identidade de ordem n vale \det(I_{n})=1. Para uma matriz escalar cI_{n} vale a propriedade
\det(cI_{n})=c^{n}.
Justificativa curta: multiplicar uma matriz n\times n por um escalar c é o mesmo que multiplicar cada uma das n linhas por c; cada multiplicação de linha multiplica o determinante por c, logo o determinante total ganha um fator c^{n}.
Aplicando isso ao caso Q=-2I_{4} (aqui c=-2 e n=4):
\det(Q)=\det(-2I_{4})=(-2)^{4}=16.

Resposta

d) \operatorname{det}(Q)=16

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