Sejam a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} quatro números reais nãonulos, formando nessa ordem uma progressão geométrica. Então, o sistema \left\{\begin{array}{c}a_{1} x+a_{3} y=1 \\\ a_{1} a_{2} x+a_{1} a_{4} y=a_{2}\end{array}\right. é:
a) possível determinado;
b) possível determinado apenas para a_{1}>1;
c) impossível;
d) possível determinado apenas para a_{1}<-1;
e) possível indeterminado.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Existem quatro números reais não nulos a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\) que, nessa ordem, formam uma progressão geométrica.
- É dado o sistema linear
\[\begin{cases} a_{1}x + a_{3}y = 1,\\[4pt] a_{1}a_{2}x + a_{1}a_{4}y = a_{2}. \end{cases}
O que o enunciado pede é classificar esse sistema entre as alternativas:
a) possível determinado; b) possível determinado apenas para a_{1}>1\]; c) impossível; d) possível determinado apenas para \(a_{1}<-1; e) possível indeterminado.]
Passo 2
Primeiro, escrever o que significa “formam uma progressão geométrica”. Isso quer dizer que existe uma razão r tal que
Portanto a segunda equação é um múltiplo escalar da primeira: elas são proporcionais.
Passo 5
Interpretando isso no contexto de sistemas lineares: quando as duas equações são múltiplos uma da outra, as equações representam a mesma reta no plano (x,y). Isso significa que o sistema não apresenta duas retas distintas que se cruzam em um único ponto; em vez disso as retas coincidem. Como a multiplicação pelo escalar também multiplicou o termo independente de forma consistente (o lado direito também é o mesmo múltiplo), o sistema é consistente e possui infinitas soluções (uma família de soluções, a reta dada por x + r^{2}y = \tfrac{1}{a_{1}}).
Outra forma de ver: o determinante da matriz dos coeficientes é
Determinante zero confirma dependência linear das linhas (ou colunas). Como o sistema é consistente (ver passo anterior), a classificação é “possível indeterminado” (infinitas soluções).]
Passo 6
Não há exceções com os dados fornecidos, porque o enunciado já exigiu a_{1}\neq 0\) e todos os \(a_{i}\) são não nulos, então \(r\neq 0\). Assim a proporcionalidade entre as equações vale sempre e a consistência também. Um exemplo numérico rápido para visualizar: escolha \(a_{1}=2\) e \(r=3\). Então \(a_{2}=6,a_{3}=18,a_{4}=54\) e o sistema fica
\[\begin{cases} 2x + 18y = 1,\\[4pt] 12x + 108y = 6, \end{cases}
onde a segunda equação é (6] vezes a primeira; portanto as equações coincidem e há infinitas soluções.]