1. Sejam a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} quatro números reais nãonulos, formando nessa ordem uma progressão geométrica. Então, o sistema \left\{\begin{array}{c}a_{1} x+a_{3} y=1 \\\ a_{1} a_{2} x+a_{1} a_{4} y=a_{2}\end{array}\right. é:
    a) possível determinado;
    b) possível determinado apenas para a_{1}>1;
    c) impossível;
    d) possível determinado apenas para a_{1}<-1;
    e) possível indeterminado.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Existem quatro números reais não nulos a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\) que, nessa ordem, formam uma progressão geométrica. - É dado o sistema linear \[\begin{cases} a_{1}x + a_{3}y = 1,\\[4pt] a_{1}a_{2}x + a_{1}a_{4}y = a_{2}. \end{cases}
O que o enunciado pede é classificar esse sistema entre as alternativas:
a) possível determinado; b) possível determinado apenas para a_{1}>1\]; c) impossível; d) possível determinado apenas para \(a_{1}<-1; e) possível indeterminado.]

Passo 2

Primeiro, escrever o que significa “formam uma progressão geométrica”. Isso quer dizer que existe uma razão r tal que
a_{2}=a_{1}r,\qquad a_{3}=a_{1}r^{2},\qquad a_{4}=a_{1}r^{3}.
Aqui a_{1}\neq 0 e, como a_{2}\neq 0, segue também r\neq 0. Essas expressões vão permitir reescrever o sistema em termos de a_{1} e r.

Passo 3

Substituir a_{2},a_{3},a_{4} nas equações do sistema:
A primeira equação fica
a_{1}x + a_{3}y = a_{1}x + a_{1}r^{2}y = 1.
Como a_{1}\neq 0, dividindo por a_{1} obtemos a forma simplificada
x + r^{2}y = \frac{1}{a_{1}}.
A segunda equação, substituindo, dá
a_{1}a_{2}x + a_{1}a_{4}y = a_{1}(a_{1}r)x + a_{1}(a_{1}r^{3})y = a_{1}^{2}r\,x + a_{1}^{2}r^{3}y = a_{2}=a_{1}r.
Dividindo por a_{1}^{2} (que é não nulo) obtemos
r\,x + r^{3}y = \frac{r}{a_{1}}.

Passo 4

Comparar as duas formas simplificadas:
x + r^{2}y = \frac{1}{a_{1}}
e
r\,x + r^{3}y = \frac{r}{a_{1}}.
Note que multiplicando a primeira equação por r obtemos exatamente a segunda:
r\bigl(x + r^{2}y\bigr) = r\,x + r^{3}y = r\cdot\frac{1}{a_{1}} = \frac{r}{a_{1}}.
Portanto a segunda equação é um múltiplo escalar da primeira: elas são proporcionais.

Passo 5

Interpretando isso no contexto de sistemas lineares: quando as duas equações são múltiplos uma da outra, as equações representam a mesma reta no plano (x,y). Isso significa que o sistema não apresenta duas retas distintas que se cruzam em um único ponto; em vez disso as retas coincidem. Como a multiplicação pelo escalar também multiplicou o termo independente de forma consistente (o lado direito também é o mesmo múltiplo), o sistema é consistente e possui infinitas soluções (uma família de soluções, a reta dada por x + r^{2}y = \tfrac{1}{a_{1}}).
Outra forma de ver: o determinante da matriz dos coeficientes é
\Delta = \begin{vmatrix} a_{1} & a_{3}\\[4pt] a_{1}a_{2} & a_{1}a_{4} \end{vmatrix} = a_{1}\cdot (a_{1}a_{4}) - a_{3}\cdot (a_{1}a_{2}) = a_{1}^{2}a_{4} - a_{1}a_{2}a_{3}.
Usando a_{k}=a_{1}r^{k-1} fica
\Delta = a_{1}^{2}\,(a_{1}r^{3}) - a_{1}(a_{1}r)(a_{1}r^{2}) = a_{1}^{3}r^{3} - a_{1}^{3}r^{3} = 0.
Determinante zero confirma dependência linear das linhas (ou colunas). Como o sistema é consistente (ver passo anterior), a classificação é “possível indeterminado” (infinitas soluções).]

Passo 6

Não há exceções com os dados fornecidos, porque o enunciado já exigiu a_{1}\neq 0\) e todos os \(a_{i}\) são não nulos, então \(r\neq 0\). Assim a proporcionalidade entre as equações vale sempre e a consistência também. Um exemplo numérico rápido para visualizar: escolha \(a_{1}=2\) e \(r=3\). Então \(a_{2}=6,a_{3}=18,a_{4}=54\) e o sistema fica \[\begin{cases} 2x + 18y = 1,\\[4pt] 12x + 108y = 6, \end{cases}
onde a segunda equação é (6] vezes a primeira; portanto as equações coincidem e há infinitas soluções.]

Resposta

e) possível indeterminado.

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