Seja
uma matriz real de ordem
com
autovalores distintos. Seja
uma matriz que comuta com
, onde
representa a matriz identidade de ordem
. Considere as seguintes afirmações:
(V) O produto
não é diagonalizável
(V) O produto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas matrizes,
e
, onde
é uma matriz quadrada de ordem
com
autovalores distintos. A matriz
comuta com
(ou seja,
) e
não é a matriz identidade
. A afirmação que vamos analisar é:
(V) O produto
não é diagonalizável.
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes diagonais e comutatividade. Precisamos verificar se
pode ser diagonalizado ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz
é diagonalizável se existe uma matriz invertível
e uma matriz diagonal
tal que:
Ou seja,
pode ser representada de forma simples numa base adequada.
Passo 3
Agora, como
tem
autovalores distintos, sabemos que
é uma matriz diagonalizável. Isso porque ter autovalores distintos garante que
possui uma base de autovetores, permitindo sua diagonalização:
onde
é a matriz diagonal dos autovalores de
.
Passo 4
Como
e
comutam (
), e
é diagonalizável com autovalores distintos, podemos concluir que
também é diagonalizável e que
pode ser diagonalizada na mesma base que
. Portanto:
onde
é uma matriz diagonal.
Passo 5
Agora, vamos analisar o produto
:
Como
e
são diagonais, seu produto
também é diagonal. Assim, temos:
O que mostra que
é diagonalizável, já que é expressa como uma matriz diagonal na base
.
Resposta
A afirmação (V) O produto
não é diagonalizável é falsa. O produto
é, de fato, diagonalizável.