Seja
o
-espaço vetorial de polinômios com coeficientes reais de grau
. Introduzimos um produto interno em
através da fórmula
Seja
o operador linear definido por
para
e seja
. O polinômio
satisfaz a equação diferencial
para cada
. Considere as seguintes afirmações:
(II) Para
.
(II) Para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espaço vetorial de polinômios de grau até
com coeficientes reais, chamado
. Nesse espaço, definimos um “produto interno” (que é uma forma de medir o ângulo e o comprimento entre dois vetores, ou no caso, entre dois polinômios). A gente também tem um operador linear
que age sobre esses polinômios de uma maneira específica, e uns polinômios
que satisfazem uma certa equação diferencial. A afirmação que vamos analisar é que, para índices diferentes
e
, o produto interno entre
e
é zero, ou seja, eles são “ortogonais”. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de produtos internos, operadores lineares e polinômios ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. No nosso caso, ele está definido por:
Isso significa que para dois polinômios
e
, o produto interno é a integral do produto deles no intervalo de
a
.
Passo 3
Agora, sobre os polinômios
. Eles são definidos por:
E sabemos que cada
satisfaz a equação diferencial:
Essa equação é característica dos polinômios de Legendre, que são conhecidos por serem ortogonais em relação a esse produto interno.
Passo 4
A propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre nos diz que:
Ou seja, se
é diferente de
, o produto interno entre
e
é zero, o que confirma que eles são ortogonais entre si.
Passo 5
Para verificar isso, podemos usar a seguinte relação de ortogonalidade dos polinômios de Legendre:
Como nossa definição de produto interno é exatamente essa integral, concluímos que:
Resposta
A afirmação (II) está correta: para
,
.