Seja Pn o R-espaço vetorial de polinômios com coeficientes reais de grau <= n. Introduzimos um produto interno em Pn através da fórmula
lang<= p, qrang<=:=integral-1^1 p(t) q(t) d t, p, q in Pn
Seja T: Pn Pn o operador linear definido por T(p)(t):=((1-t^2) p^prime(t))^prime para p in Pn e seja rj(t):=d^jd t^j(1-t^2)^j, j=0,1, ldots, n. O polinômio rj(t) satisfaz a equação diferencial (1-t^2) rj^prime prime(t)- 2 t rj^prime(t)+j(j+1) rj=0 para cada j=0,1, ldots, n. Considere as seguintes afirmações:
(II) Para i neq j,lang<= ri, rjrang<==0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espaço vetorial de polinômios de grau até com coeficientes reais, chamado . Nesse espaço, definimos um “produto interno” (que é uma forma de medir o ângulo e o comprimento entre dois vetores, ou no caso, entre dois polinômios). A gente também tem um operador linear que age sobre esses polinômios de uma maneira específica, e uns polinômios que satisfazem uma certa equação diferencial. A afirmação que vamos analisar é que, para índices diferentes e , o produto interno entre e é zero, ou seja, eles são “ortogonais”. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de produtos internos, operadores lineares e polinômios ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. No nosso caso, ele está definido por:
lang<= p, q rang<= = integral-1^1 p(t) q(t) dt
Isso significa que para dois polinômios e , o produto interno é a integral do produto deles no intervalo de a .

Passo 3

Agora, sobre os polinômios rj(t) = d^jdt^j (1 - t^2)^j . Eles são definidos por:
(1 - t^2) rj''(t) - 2 t rj'(t) + j(j + 1) rj(t) = 0
E sabemos que cada satisfaz a equação diferencial:
Essa equação é característica dos polinômios de Legendre, que são conhecidos por serem ortogonais em relação a esse produto interno.

Passo 4

A propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre nos diz que:
lang<= ri, rj rang<= = 0 para i neq j
Ou seja, se é diferente de , o produto interno entre e é zero, o que confirma que eles são ortogonais entre si.

Passo 5

Para verificar isso, podemos usar a seguinte relação de ortogonalidade dos polinômios de Legendre:
integral-1^1 ri(t) rj(t) dt = 0 quando i neq j
Como nossa definição de produto interno é exatamente essa integral, concluímos que:
lang<= ri, rj rang<= = 0 para i neq j

Resposta

A afirmação (II) está correta: para , .

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